ماتریس ژاکوبی

اگر ${\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}}$ یک تابع مشتق‌پذیر چند متغیره باشد که مقادیر آن ${\displaystyle [y_{1}(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots ,y_{m}(x_{1}\cdots x_{n})]}$ باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه ${\displaystyle (x_{1}\cdots x_{n})}$، یک نگاشت خطی از فضای ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$ به ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}$ می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.

مثال ۱: تابع ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ را با این تعریف در نظر بگیرید:

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin(y)\end{bmatrix}}.}$

که در آن

${\displaystyle F_{1}(x,y)=x^{2}y}$

و

${\displaystyle F_{2}(x,y)=5x+\sin(y)}$

ماتریس ژاکوبی F چنین است:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial F_{1}}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial F_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos(y)\end{bmatrix}}}$

و دترمینان ژاکوبی:

${\displaystyle \det(J_{F}(x,y))=2xy\cos(y)-5x^{2}.}$

مثال ۲: ماتریس ژاکوبی تابع F : R³ → R⁴ شامل:

${\displaystyle y_{1}=x_{1}\,}$

${\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin(x_{1})\,}$

چنین است:

${\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1})&0&\sin(x_{1})\end{bmatrix}}.}$

این مثال همچنین نشان می‌دهد که ماتریس ژاکوبی لزوماً نباید مربعی باشد.

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (مسلماً در صورتی که ماتریس، مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود.

منابع بیشتر:فصل های۱۴_۱۶ ریاضیات توماس