سری فوریه

تبدیل فوریه
	تبدیل فوریه پیوسته
	سری فوریه
	تبدیل فوریه گسسته
	تبدیل فوریه گسسته‌زمان
	تبدیل‌های مرتبط

سری فوریه بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

پیش گفتار

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.
فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

x=\sum _{k=1}^{N}{A_{k}}cos(\omega _{k}t+\theta _{k})\,\!

که در آن $N$ یک عدد صحیح مثبت، $A_{k}$ دامنه ، $\omega _{k}$ بسامد و $\theta _{k}$ فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها $\omega _{1},\omega _{2}\ldots \omega _{N}$ ، دامنه‌ها $A_{1},A_{2}\ldots A_{N}$ و فازها $\theta _{1},\theta _{2}\ldots \theta _{N}$ تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

نمایش‌های مختلف سری فوریه

نمایش مثلثاتی

اگر $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ یک تابع متناوب با دوره تناوب $T$ باشد (یا به عبارتی: ‎ $f(t+T)=f(t)$ ‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(\omega _{n}t)+b_{n}\sin(\omega _{n}t)]\,\!

که در آن $\omega _{n}$ هارمونیک nام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب $a_{n}$ ، $a_{0}$ و $b_{n}$ را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نیست. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

\int _{a}^{a+T}{\left\vert f(x)\right\vert }dx<\infty

تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i\omega _{n}t}\,\!

و در اینجا:

c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)e^{-i\omega _{n}t}\,dt\,\!

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }(c_{n}cos({w_{n}}t)+ic_{n}sin({w_{n}}t))\,\!

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که $c_{n}$ به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

c_{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})\,\!

c_{-n}={\frac {1}{2}}(a_{n}+ib_{n})\,\!

نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی (به انگلیسی: line spectra) استفاده می‌شود.

x={a_{0}+}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}}cos({\omega _{k}}t+\theta _{k})\,\!

محاسبه ضرایب فوریه

نمایش مثلثی

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد $T$ دوره تناوب و ${\omega _{n}}$ هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب $a_{n}$ و $b_{n}$ و ضریب ثابت $a_{0}$ مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)dx\,\!

a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)Cos(n{\omega }x)dx,n=1,2,\ldots \,\!

b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)Sin(n{\omega }x)dx,n=1,2,\ldots \,\!

بازه [ $\pi ,\pi$ -] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها $2\pi$ است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب $p=2\pi$ پس ضرایب عبارتند از:

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx\,\!

a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)Cos(nx)dx\,\!

b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)Sin(nx)dx\,\!

همگرایی

چهار مجموع جزئی اول سری فوریه برای یک موج مربعی

در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر $s$ پیوسته باشد و مشتق $s(x)$ (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به $s(x)$ همگرا می‌شوند.[1]

چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری "طنین" (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.

جستارهای وابسته

منابع

Tolstov, Georgi P. (1976). Fourier Series. Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9.

کتاب‌شناسی

Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, Inc. , New York, 1976. ISBN 0-486-63331-4
Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen uber die Entwicklung der Matematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, Third edition. McGraw-Hill, Inc. , New York, 1976. ISBN 0-07-054235-X
Kamen, Edward W.; Heck, Bonnie S. (2007). Signals And Systems. Prentice Hall. ISBN 0-13-168737-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Tolstov, Georgi P. (1976). Fourier Series. Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9.

حسابان
پیش حسابان	بسط دوجمله‌ای تابع مقعر تابع پیوسته فاکتوریل تفاضل محدود متغیر آزاد و متغیر پابند نمودار تابع Linear function رادیان قضیه رول Secant شیب مماس
حد (ریاضی)	شکل نامعلوم حد تابع حد یک-طرفه حد دنباله مرتبه تخمین (ε, δ)-definition of limit
حساب دیفرانسیل	مشتق دیفرانسیل (ریاضیات) معادله دیفرانسیل عملگر دیفرانسیلی قضیه مقدار میانگین نمادگذاری‌های مشتق Leibniz's notation نمادگذاری‌های مشتق قواعد دیفرانسیل گیری linearity Power قواعد دیفرانسیل گیری قاعده زنجیری قاعده هوپیتال قاعده ضرب General Leibniz's rule قاعده خارج قسمت Other techniques تابع ضمنی Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates نقاط مانا First derivative test Second derivative test Extreme value theorem بیشینه و کمینه کاربرد های دیگر روش نیوتن قضیه تیلور
انتگرال	پاد مشتق طول قوس انتگرال Constant of integration Differentiation under the integral sign قضیه اساسی حسابان Differentiating under the integral sign انتگرال‌گیری جزء به جزء Integration by substitution جانشینی مثلثاتی تغییر متغیر اویلر Weierstrass Partial fractions in integration Quadratic integral قانون ذوزنقه حجم‌ها Washer method روش پوسته
حساب برداری	مشتق‌ها تاو (ریاضی) مشتق جهت‌دار دیورژانس گرادیان عملگر لاپلاس قضایای پایه‌ای قضیه گرادیان قضیه گرین Stokes' قضیه دیورژانس
حساب چندمتغیره	قضیه دیورژانس Geometric ماتریس هسین ماتریس ژاکوبی ضرایب لاگرانژ انتگرال خطی حساب ماتریس‌ها انتگرال چندگانه مشتق جزئی انتگرال سطحی انتگرال حجمی مباحث پیشرفته Differential forms Exterior derivative قضیه استوکس Tensor calculus
دنباله و سری	Arithmetico–geometric sequence انواع سری Alternating سری دو جمله‌ای سری فوریه سری هندسی سری هارمونیک سری (ریاضیات) سری توانی بسط تیلور بسط تیلور Telescoping آزمون‌های همگرایی Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison آزمون نسبت Root آزمون جمله
توابع خاص و اعداد	عدد برنولی E (عدد) تابع نمایی لگاریتم طبیعی تقریب استرلینگ
تاریخچه حسابان	Adequality بروک تیلور کولین مک‌لورین Generality of algebra گوتفرید لایبنیتس بی‌نهایت کوچک حسابان آیزاک نیوتن Fluxion Law of Continuity لئونارد اویلر Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
لیست‌ها	قواعد دیفرانسیل گیری فهرست انتگرال تابع‌های نمایی فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی فهرست انتگرال تابع‌های گنگ فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی فهرست انتگرال توابع گویا فهرست انتگرال توابع مثلثاتی Secant Secant cubed فهرست حدها فهرست‌های انتگرال‌ها
موضوعات متفرقه	هندسهٔ دیفرانسیل انحنا of curves of surfaces Euler–Maclaurin formula Gabriel's Horn برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid