دنباله

در نظریّهٔ مجموعه‌ها، دنباله به صورت تابعی تعریف می‌شود که دامنهٔ آن اعداد طبیعی باشد[3]: ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$

برای نمایش دنباله‌ها از ${\displaystyle \langle \rangle }$ استفاده می‌شود. برای دنباله‌های متناهی از پرانتز نیز استفاده می‌شود. مثال:

${\displaystyle \langle 5,5,3,8\rangle }$

${\displaystyle (5,5,3,8)}$

${\displaystyle \langle 2,4,\ldots \rangle }$

معمولاً برای جلوگیری از کژتابی، جملهٔ عمومی نیز نوشته می‌شود:

${\displaystyle \langle 2,4,\ldots ,2n,\ldots \rangle }$

${\displaystyle \langle 2,4,\ldots ,2^{n},\ldots \rangle }$

در بسیاری از منابع، به جای ${\displaystyle \langle \rangle }$ از ${\displaystyle \{\}}$ استفاده می‌شود[4] امّا در این مقاله برای اشتباه نشدن با مجموعه‌ها، از این نمادها استفاده نشده. در بعضی منابع نیز از استفاده از نمادها پرهیز شده است[3].

به ضابطهٔ یک دنباله مانند ${\displaystyle \{a_{n}\}}$، «جملهٔ عمومی» آن می‌گویند. مثال:

${\displaystyle \{a_{n}\}=\{n^{2}\}}$

${\displaystyle a_{n}=n^{2}}$

${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}n,&n<5\\2n,&n\geqslant 5\end{cases}}}$

گاهی (با این که این نمایش معمولاً برای دنباله‌های نامتناهی استفاده می‌شود)، حدود اندیس‌ها را نیز مشخّص می‌کنند[1][4]:

${\displaystyle \{a_{n}\}=\{n^{2}\}_{n=1}^{\infty }}$

در این روش، مقدار هر جمله از دنباله وابسته به جملات قبلی آن است[1]. مثل دنبالهٔ فیبوناچی:

${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}1&n=1\lor n=2\\f_{n-1}+f_{n-2},&n>2\end{cases}}}$

یک اثبات تصویری برای این که دنبالهٔ بازگشتی یادشده مربّع کامل است.

بعضی مواقع می‌توان دنبالهٔ بازگشتی را ساده کرد و نمایش جمله‌ٔ عمومی آن را پیدا کرد. به عنوان مثال دنبالهٔ

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}1&n=1\\a_{n-1}+2n-1&n>1\end{cases}}}$

را می‌توان به صورت ${\displaystyle a_{n}=n^{2}}$ ساده کرد.

تابع آکرمن مثالی ست از مواقعی که نمی‌توان دنباله را ساده کرد: ${\displaystyle a_{n}=A(n,n)}$

دنبالهٔ همساز با جملهٔ عمومی ${\displaystyle a_{n}={1 \over n}}$

دنباله‌ها نیز مانند بقیهٔ توابع می‌توانند به صورت نموداری نمایش داده شوند. مثال:

از آن جایی که دنباله نوعی تابع است، تعریف یکنوایی توابع در این مورد نیز همان است.

این قضیه بیان می‌دارد که یک دنباله صعودی ست اگر و تنها اگر هر جملهٔ آن از جملهٔ قبلی بزرگتر باشد[3]:

${\displaystyle a\nearrow \quad \Longleftrightarrow \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geqslant a_{n-1}}$

و نزولی نیز به صورت مشابه:

${\displaystyle a\searrow \quad \Longleftrightarrow \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leqslant a_{n-1}}$

شرط اکیداً صعودی و اکیداً نزولی نیز به شکل مشابه.

یک دنباله «از بالا کران‌دار» است اگر کران بالا داشته باشد؛ به طور دقیق‌تر ${\displaystyle \exists M\in \mathbb {R} ^{+}:a_{n}\leqslant M,\forall n\in \mathbb {N} }$

همچنین یک دنباله «از پایین کران‌دار» است اگر ${\displaystyle \exists M\in \mathbb {R} ^{+}:M\leqslant a_{n},\forall n\in \mathbb {N} }$

در نهایت، یک دنباله «کران‌دار» است اگر از بالا و پایین کران‌دار باشد. به عبارتی دیگر[3]: ${\displaystyle \exists M\in \mathbb {R} ^{+}:|a_{n}|\leqslant M,\forall n\in \mathbb {N} }$

در این نوع از دنباله‌ها، اختلاف هر جمله با جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.

در این نوع از دنباله‌ها، نسبت هر جمله به جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.

دنبالهٔ چند‌جمله‌ای دنباله‌ای ست که هر جملهٔ آن ضریب تابعی چند‌جمله‌ای باشد. مثال:

دنبالهٔ ${\displaystyle a_{n}=\langle 5,5,3,8\rangle }$ دنبالهٔ چندجمله‌ای ${\displaystyle 5+5x+3x^{2}+8x^{3}}$ است.

سری همساز. یک روش فهم مفهوم جمع جزئی و سری‌ها به این صورت است: جمع مساحت مستطیل‌های به طول یک و عرض ${\displaystyle a_{n}}$

برای یک دنباله مانند ${\displaystyle \{a_{n}\}}$، دنبالهٔ مجموع جزئی متناظر با آن به صورت زیر تعریف می‌شود[6]:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$

عنصر nـُم سری فوق را «جمع جزئی»ِ n عضو اوّل دنباله می‌گویند.

حد مجموع جزئی در بی‌نهایت همان سری دنباله است

روش انتگرال ریمان، اوّلین تعریف دقیق انتگرال.

مفهوم جمع جزئی شباهت بسیاری با انتگرال دارد. در واقع، انتگرالِ یک تابع به کمک حد این جمع تعریف می‌شود.