حد (ریاضی)

−

هرگاه نقطه‌ای مانند x در فاصلهٔ δ از c باشد f(x) در فاصلهٔ ε از L قرار می‌گیرد.		برای تمامی x> S، مقدار f(x) در بازهٔ ε از L قرار می‌گیرد.

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

بدین معنا است که اگر x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک شود مقدار f(x)‎ به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا را چنین می‌خوانیم: «حد f از x هنگامی که x به c نزدیک می‌شود برابر L است.»

کوشی در ۱۸۲۱[5] و به دنبال او کارل وایراشتراس تعریفی که در بالا برای حد داده شد را ریاضی وار بیان کردند، این تعریف در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف از اپسیلون، ε، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که «f(x) به‌اندازهٔ دلخواه به L نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار f(x) کم‌کم در بازهٔ (L - ε, L + ε) جای می‌گیرد. با کمک قدر مطلق[5] چنین می‌نویسیم: |f(x) - L| <ε.
عبارت «هنگامی که x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از x را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از c کمتر از عدد مثبت دلتا، δ باشد؛ یعنی x عضو یکی از دو بازهٔ (c - δ, c) یا (c, c + δ) است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: ۰ <|x - c| <δ. نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان c و x بیشتر از صفر است و x ≠ c است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ x از c کمتر از δ است.[5]

توجه داشته باشید که تعریف بالا برای حد می‌تواند درست باشد حتی اگر ${\displaystyle f(c)\neq L}$ باشد. در حقیقت حتی نیازی نیست که f(x) در c تعریف شده باشد.

برای نمونه اگر داشته باشیم:

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}$

آنگاه f(1) تعریف نشده‌است (بخش بر صفر) حال هر چه x به ۱ نزدیک می‌شود، f(x) متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود:

بنابراین، مقدار f(x) به ۲ نزدیک می‌شود هرگاه بتوانیم x را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کنیم.

به عبارت دیگر ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2}$

یک تابع علاوه برداشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی‌نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:

${\displaystyle f(x)={2x-1 \over x}}$

هرگاه x مقدارهای بی‌نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار f(x) به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت می‌گوییم حد f(x) به ازای xهای رو به بی‌نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}$

این روش به روش اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل وایرشتراس عنوان شد. با استفاده از آن حد را چنین تعریف می‌کنیم:

گوییم ${\displaystyle f(x)}$ در نقطه‌ای مانند ${\displaystyle x_{0}}$ دارای حد ${\displaystyle L}$ است اگر به ازای هر عدد مثبت ${\displaystyle \epsilon }$ عدد مثبتی مثل ${\displaystyle \delta }$ موجود باشد به‌طوری‌که اگر ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$، آنگاه${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$.

به عبارت دیگر برای هر ${\displaystyle \varepsilon \ >0}$ یک ${\displaystyle \delta \ >0}$ وجود داشته باشد، که برای هر ${\displaystyle x_{0}}$ با خاصیت ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \ }$، داشته باشیم ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$.

برای تعریف غیر صوری باید گفت حد تابع ${\displaystyle f(x)}$ ،${\displaystyle L}$ است اگر وقتی ${\displaystyle x\to a}$، ${\displaystyle f(x)}$ به حد ${\displaystyle L}$ نزدیک بشود، یا ${\displaystyle f(x)}$ در ${\displaystyle a}$ دارای حد ${\displaystyle L}$ است، اگر هنگامی که ${\displaystyle x}$ به ${\displaystyle a}$ میل می‌کند، ${\displaystyle f(x)}$ به ${\displaystyle L}$ نزدیک شود.

دنبالهٔ روبرو را در نظر بگیرید: ۱٫۷۹, ۱٫۷۹۹, ۱٫۷۹۹۹,... می‌توان دریافت که اعداد این دنباله به عدد ۱٫۸ نزدیک می‌شوند. ۱٫۸ حد این دنباله‌است.

فرض کنید a_۱, a_۲,... دنباله‌ای از عددهای حقیقی است. آنگاه می‌توان گفت عدد حقیقی L حد این دنباله‌است هرگاه:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}$

یعنی:

به ازای هر عدد حقیقی ε> ۰ می‌توان یک عدد طبیعی n_۰ پیدا کرد به گونه‌ای که برای تمام n> n_۰ آنگاه .

عبارت بالا بدان معنا است که همهٔ عضوهای دنباله به حد دنباله نزدیک می‌شوند چون عبارت قدر مطلقی برابر است با فاصلهٔ میان a_n و L. همهٔ دنباله‌ها دارای حد نیستند، اگر دنباله ای حد داشت به آن همگرا و اگر نداشت واگرا می‌گوییم. می‌توان نشان داد که دنباله‌های همگرا، حد یکتا دارند.

حد یک دنباله و حد یک تابع رابطهٔ نزدیکی با هم دارند.

• قاعده هوپیتال
• پیوستگی تابع
• مشتق
• انتگرال
• حد مستقیم
• حد معکوس
• حد تابع
• حد یک-طرفه
• فهرست حدها