قواعد دیفرانسیل گیری

برای هر تابع دلخواه f و g و هر عددحقیقی a داریم:

• قاعدهٔ ضرب ثابت

${\displaystyle (af)'=af'\,}$

• قاعده جمع و تفریق

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}$

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}$

این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}$

دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگ‌تر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.

مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}$

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'=-{1 \over 1-x^{2}}}$

• مشتق‌گیری لگاریتمی

این قواعد در بسیاری از کتاب‌ها و سایت‌های گوناگون وجود دارد. در این‌جا یک مورد از آن‌ها را ذکر می‌کنیم:

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.