گرادیان

${\displaystyle \nabla \phi }$ برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی ${\displaystyle \phi }$ و همواره بر سطح ${\displaystyle \phi =cte}$ عمود است. مثلاً گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.

در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:

${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:

${\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:

${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}$

اگر ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ دو اسکالر باشند، آنگاه گرادیان ${\displaystyle fg}$ برابر است با:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

و اگر ${\displaystyle {\vec {u}}}$ و ${\displaystyle {\vec {v}}}$ دو تابع برداری باشند، گرادیان ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$

${\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}$

به عنوان مثال :

گرادیان ${\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}$ برابر است با:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}}$

• عملگر دیفرانسیلی (دِل)
• دیورژانس
• کرل
• لاپلاسین
• تقویت گرادیان

• جورج براون آرفکن، روشهای ریاضی در فیزیک، ترجمهٔ اعظم پورقاضی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک &#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲ مقدار |شابک= را بررسی کنید: invalid character (کمک)