تغییر متغیر اویلر

در انتگرال ${\displaystyle \int \!{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+c}}}}$ ما می توانیم با استفاده از اولین تغییر متغیر و برابری ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$ حاصل زیر را داشته باشیم:

${\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \mathrm {d} x={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}$

بر اساس این چنین چیزی به دست خواهد آمد:

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\int \!{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C}$

به ازای ${\displaystyle c=\pm 1}$، چنین فرمول‌هایی به دست می‌آید.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}={\mbox{arsinh}}(x)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}={\mbox{arcosh}}(x)+C\quad (x>1)}$

برای پیدا کردن پاسخ  ${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}}$ طبق اولین جایگزینی اویلر خواهیم داشت: ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}$ و با به توان دو رساندن دو طرف معادله خواهیم داشت:${\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}$ ؛

${\displaystyle x^{2}}$ها حذف خواهند شد و در پایان ${\displaystyle x}$ برابر با ${\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}}$ خواهد شد.${\displaystyle dx}$ را با مشتق گرفتن از دو سمت معادله‌ی فوق به دست آورده و با جایگزین کردن مقادیر پاسخ انتگرال را به دست می‌آوریم:

${\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt}$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=\int {\frac {{\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=tan^{-1}(t/2)+C}$ است و ${\displaystyle t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}$ پس${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=tan^{-1}({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}})+C}$