حد دنباله

ویژگی‌های حد دنباله مثل ویژگی‌های حد تابع هستند.

حد دنباله در صورت وجود، یکتاست. یعنی اگر ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{1}}$ و ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{2}}$ آنگاه ${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$ [2]

اگر برای دنبالهٔ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ داشته باشیم ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$، به ازای هر تابع پیوسته‌ٔ ${\displaystyle f}$ داریم ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})=\lim _{n\to \infty }f(A)}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(ca_{n})=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})(\lim _{n\to \infty }b_{n})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }({a_{n} \over b_{n}})={\lim _{n\to \infty }a_{n} \over \lim _{n\to \infty }b_{n}}}$ به شرطی که ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}^{p})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})^{p}}$

${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$[3]

توجّه کنید که در بسیاری از موارد ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$ برقرار است امّا ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \alpha >0\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }{1 \over n^{\alpha }}=0}$ [4]

${\displaystyle |c|<1\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }c^{n}=0}$

${\displaystyle c>0\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }c^{1 \over n}=1}$

${\displaystyle a>0,b>0\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }{(\log n)^{a} \over n^{b}}=0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1 \over n}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}$

${\displaystyle a\in \mathbb {R} \Longrightarrow \lim _{n\to \infty }(1+{a \over n})^{n}=e^{a}}$

${\displaystyle c\in \mathbb {R} \Longrightarrow \lim _{n\to \infty }{c^{n} \over n!}=0}$ [3]

• حد
• دنباله

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Limit of a sequence». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.