عدد برنولی

گذشتهٔ اعداد برنولی ریشه در تاریخ محاسبهٔ مجموع توان‌های اعداد طبیعی دارد. روش‌های محاسبهٔ جمع n عدد طبیعی نخست (${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n}$) همچنین جمع توان دوها (مربعات) (${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}}$) و توان سه‌ها (مکعبات) n عدد طبیعی (${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}}$) قبلاً بدست آمده بود اما هیچ فرمول ریاضی مشخصی برای آنها گفته نشده بود و حل آنها تنها به صورت توضیحی و با واژه‌ها بیان شده بود، بدون فرمول ریاضی. از جمله ریاضی دانان نامی که به حل مجموع توان‌های اعداد طبیعی پرداختند می‌توان به فیثاغورس، ارشمیدس، آریابهاتا، ابوبکر کرجی و ابن هیثم اشاره کرد.

در سدهٔ شانزدهم و آغاز سدهٔ هفده ام میلادی ریاضی دانان پیشرفت شگرفی در این زمینه کردند. در غرب، توماس هریوت (۱۵۶۰ تا ۱۶۲۱) از انگلستان، یوهان فالهابر (۱۵۸۰ تا ۱۶۳۵) از آلمان و پیر دو فرما (۱۶۰۱ تا ۱۶۶۵) و همکار فرانسوی اش بلز پاسکال (۱۶۲۳ تا ۱۶۶۲) همگی نقش مهمی در این زمینه داشتند.

ظاهراً توماس هریوت نخستین کسی است که برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی از نمادهای ریاضی استفاده کرده‌است اما او توانست تنها تا توان ۴ را محاسبه کند. یوهان فالهابر توانست برای مجموع توان‌های اعداد طبیعی تا توان ۱۷ فرمول‌هایی را بدست آورد که این بالاترین دستاورد تا آن زمان بود؛ اما او هم نتوانست فرمول کلی برای همهٔ توان‌ها بدست آورد.

بلز پاسکال در ۱۶۵۴، معادلهٔ پاسکال مربوط به مجموع pامین توان n عدد صحیح مثبت نخست را اثبات کرد به ازای p = 0, 1, 2, …, k.

ریاضی‌دان سوئیسی ژاکوب برنولی (۱۶۵۴ تا ۱۷۰۵) نخستین کسی بود که دریافت یک دنباله یکتا از اعداد می تواند به تنهایی فرمولی کلی برای مجموع توان های اعداد صحیح مثبت به ازای هر توانی را بدست دهد این دنباله ثابت‌های B₀, B₁, B₂,… داشت. لذتی که برنولی از بدست آوردن الگویی برای ضرایب فرمولش در محاسبه ی مجموع توان cام اعداد طبیعی تجربه کرد در یادداشت هایش این گونه بیان شده است:

با کمک این میز (پشت همین میز) در کمتر از نیمی از یک چهارم ساعت توانستم مجموع توان دهم ۱۰۰۰ عدد طبیعی نخست را بدست آورم و به جواب ۹۱٬۴۰۹٬۹۲۴٬۲۴۱٬۴۲۴٬۲۴۳٬۴۲۴٬۲۴۱٬۹۲۴٬۲۴۲٬۵۰۰ برسم.

نتایج برنولی پس از مرگش در ۱۷۱۳ در کتابی با عنوان هنر گمان بردن (Ars Conjectandi) منتشر شد. سکی تاکاکازو نیز به صورت مستقل به اعداد برنولی دست پیدا کرد و نتایج کارش در ۱۷۱۲، پس از مرگش منتشر شد[2] البته روش سکی به صورت فرمول ریاضی و دنباله ای با ثابت های مشخص بیان نشد.

فرمول برنولی تا امروز به عنوان کاربردی‌ترین و عمومی‌ترین روش در بدست آوردن مجموع توان‌ها دانسته می‌شود. ضریب‌های استفاده شده در فرمول برنولی امروزه با نام اعداد برنولی شناخته می‌شوند. این نامگذاری به پیشنهاد ابراهام دو مواور بود.

گاهی به فرمول برنولی، فرمول فالهابر نیز گفته می‌شود این نامگذاری به پاس تلاش‌هایی است که یوهان فالهابر انجام داد او راه های ارزشمندی برای محاسبهٔ مجموع توان‌ها ارائه کرد اما هرگز به یک فرمول کلی نرسید او هرگز گمان نمی کرد یک دنباله از اعداد بتواند بیانگر جواب مسئله باشد.

${\displaystyle \quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

یا

${\displaystyle \quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{-{}}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

برای همه ی مجموع توان ها، فالهابر هرگز این حقیقت به چشمش نیامد که تقریباً نیمی از ضرایب رابطه ی او صفر است.

یادداشت‌های برنولی چنین است:

کتاب ژاکوب برنولی که پس از مرگش منتشر شد.

در کتاب هنر گمان بردن ژاکوب برنولی که در ۱۷۱۳ و پس از مرگش منتشر شد صفحهٔ ۹۷، متن بالا آمده‌است. فرمول اصلی در نیمهٔ دوم دیده می‌شود؛ ثابت‌هایی که اینجا برنولی با عنوان‌های A، B، C و D معرفی کرده در فرمول امروزی به صورت A = B₂، B = B₄، C = B₆، D = B₈ تعریف شده است. عبارت c·c−1·c−2·c−3 در اصل به معنی c·(c−1)·(c−2)·(c−3) – می باشد و این نقطه های کوچک در عبارت به معنی علامت ضرب گروهی است با نوشتار ریاضیاتی امروزی می توان گفت این عبارت یک فاکتوریل نزولی c^k است. علامت فاکتوریل برای خلاصه نویسی در ضرب 1 × 2 × … × k به صورت k! صد سال پس از برنولی معرفی شد. علامت انتگرال در سمت چپ عبارت های برنولی به گوتفرید لایبنیتس در 1675 باز می گردد که از حرف S برای خلاصه نویسی summa به معنی جمع استفاده کرد (این نشان می دهد لایبنیتز راهنمای علمی برنولی بوده است.[5] عبارت n در سمت چپ نیز یک اندیس برای مجموع‌یابی نیست بلکه حد بالایی یک بازه ی مجموع را نشان می دهد به صورت 1, 2, …, n. با در کنار هم گذاشتن اطلاعاتی که در این کتاب داده شد برای c های مثبت، با ریاضیات امروزی، فرمول برنولی به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

یکی از مهم ترین کاربردهای اعداد برنولی در فرمول اویلر-مکلورن است. اگر فرض کنیم تابع f همواره به اندازه ی کافی مشتق‌پذیر باشد، فرمول اویلر-مکلورن را می توان به صورت زیر نوشت:[6]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

در این فرمول فرض می شود که B−
1 = −1/2. حال با استفاده از convention B+
1 = +1/2 فرمول خواهد شد:

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

در اینجا f⁽⁰⁾ = f و f⁽⁻¹⁾ پاد مشتق f است. برپایه ی قضیه اساسی حسابان خواهیم داشت:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

بنابراین فرمول به صورت ساده تر به شکل زیر درخواهد آمد:

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

این فرم برای نمونه بسط اویلر-مکلورن تابع زتا است

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

در اینجا s^k توان فاکتوریل صعودی است.[7]

علاوه بر این، عدد برنولی در دیگر بسط های مجانبی نیز کاربرد دارد نمونه ی زیر بسط مجانبی نوع پوانکاره برای تابع دایگاما، ψ است:

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

عددهای برنولی در گسترش بسط تیلور بسیاری از توابع مثلثاتی و هذلولوی دیده می‌شود:

تانژانت

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left|x\right|&<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}}$

کتانژانت

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

تانژانت هیپربولیک

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&|x|&<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

کتانژانت هیپربولیک

${\displaystyle {\begin{aligned}\coth x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad \qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

عددهای برنولی در این سری لوران نیز دیده می‌شود:

تابع دایگاما: