مشتق جهت‌دار

در ریاضیات، مشتق سویی یا مشتق جهتی یک تابع مشتق‌پذیر چند متغیره در راستای یک بردار $\mathbf {v}$ در نقطهٔ $\mathbf {x}$ ، به‌طور شهودی نشان‌دهندهٔ نرخ تغییرات لحظه‌ای آن تابع در حال عبور از نقطهٔ $\mathbf {x}$ با سرعتی معادل با بردار $\mathbf {v}$ است. بنابراین، مشتق جهت‌دار، مفهوم مشتق پاره‌ای را که در آن نرخ تغییرات در راستای یکی از محورهای مختصات خمیده‌خط با ثابت در نظر گرفتن سایر مختصات محاسبه می‌شود، تعمیم می‌دهد.

تعریف

مشتق جهت‌دار یک تابع نرده‌ای $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ در راستای بردار $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$ تابعی است که با حد زیر تعریف می‌شود:[1][2]

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}

اگر تابع $f$ در نقطهٔ $\mathbf {x}$ مشتق‌پذیر باشد، سپس مشتق جهت‌دار آن در این نقطه، در راستای هر بردار $\mathbf {v}$ وجود داشته و می‌تواند از رابطهٔ زیر محاسبه شود:

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}

که $\nabla$ در طرف راست معادلهٔ بالا، نشان‌دهندهٔ گرادیان و « $\cdot$ » ضرب داخلی است.

نماد

مشتق جهت‌دار با نمادهای زیر نشان داده می‌شود:

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\sim {\frac {\partial {f(\mathbf {x} )}}{\partial {v}}}\sim f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )\sim D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\sim \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}

ویژگی‌ها

بسیاری از ویژگی‌های مشتق معمولی در مورد مشتق جهت‌دار هم برقرارند. به عنوان مثال، برای توابع $f$ و $g$ که در همسایگی نقطهٔ $p$ تعریف شده و مشتق‌پذیر باشند، روابط زیر برقرار است:

قاعده جمع:

\nabla _{v}(f+g)=\nabla _{v}f+\nabla _{v}g

قاعده ضریب ثابت:

\nabla _{v}(cf)=c\nabla _{v}f

قاعده ضرب:

\nabla _{v}(fg)=g\nabla _{v}f+f\nabla _{v}g

قاعده زنجیری: اگر تابع $g$ در $p$ و تابع $h$ در $g(p)$ مشتق‌پذیر باشند، آن‌گاه:

\nabla _{v}h\circ g(p)=h'(g(p))\nabla _{v}g(p)

پانویس

R. Wrede, M.R. Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd edition ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7.
"http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html". MathWorld. Retrieved 10 December 2012. External link in |title= (help)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] R. Wrede, M.R. Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd edition ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7.

[2] "http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html". MathWorld. Retrieved 10 December 2012. External link in |title= (help)

حسابان
پیش حسابان	بسط دوجمله‌ای تابع مقعر تابع پیوسته فاکتوریل تفاضل محدود متغیر آزاد و متغیر پابند نمودار تابع Linear function رادیان قضیه رول Secant شیب مماس
حد (ریاضی)	شکل نامعلوم حد تابع حد یک-طرفه حد دنباله مرتبه تخمین (ε, δ)-definition of limit
حساب دیفرانسیل	مشتق دیفرانسیل (ریاضیات) معادله دیفرانسیل عملگر دیفرانسیلی قضیه مقدار میانگین نمادگذاری‌های مشتق Leibniz's notation نمادگذاری‌های مشتق قواعد دیفرانسیل گیری linearity Power قواعد دیفرانسیل گیری قاعده زنجیری قاعده هوپیتال قاعده ضرب General Leibniz's rule قاعده خارج قسمت Other techniques تابع ضمنی Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates نقاط مانا First derivative test Second derivative test Extreme value theorem بیشینه و کمینه کاربرد های دیگر روش نیوتن قضیه تیلور
انتگرال	پاد مشتق طول قوس انتگرال Constant of integration Differentiation under the integral sign قضیه اساسی حسابان Differentiating under the integral sign انتگرال‌گیری جزء به جزء Integration by substitution جانشینی مثلثاتی تغییر متغیر اویلر Weierstrass Partial fractions in integration Quadratic integral قانون ذوزنقه حجم‌ها Washer method روش پوسته
حساب برداری	مشتق‌ها تاو (ریاضی) مشتق جهت‌دار دیورژانس گرادیان عملگر لاپلاس قضایای پایه‌ای قضیه گرادیان قضیه گرین Stokes' قضیه دیورژانس
حساب چندمتغیره	قضیه دیورژانس Geometric ماتریس هسین ماتریس ژاکوبی ضرایب لاگرانژ انتگرال خطی حساب ماتریس‌ها انتگرال چندگانه مشتق جزئی انتگرال سطحی انتگرال حجمی مباحث پیشرفته Differential forms Exterior derivative قضیه استوکس Tensor calculus
دنباله و سری	Arithmetico–geometric sequence انواع سری Alternating سری دو جمله‌ای سری فوریه سری هندسی سری هارمونیک سری (ریاضیات) سری توانی بسط تیلور بسط تیلور Telescoping آزمون‌های همگرایی Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison آزمون نسبت Root آزمون جمله
توابع خاص و اعداد	عدد برنولی E (عدد) تابع نمایی لگاریتم طبیعی تقریب استرلینگ
تاریخچه حسابان	Adequality بروک تیلور کولین مک‌لورین Generality of algebra گوتفرید لایبنیتس بی‌نهایت کوچک حسابان آیزاک نیوتن Fluxion Law of Continuity لئونارد اویلر Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
لیست‌ها	قواعد دیفرانسیل گیری فهرست انتگرال تابع‌های نمایی فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی فهرست انتگرال تابع‌های گنگ فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی فهرست انتگرال توابع گویا فهرست انتگرال توابع مثلثاتی Secant Secant cubed فهرست حدها فهرست‌های انتگرال‌ها
موضوعات متفرقه	هندسهٔ دیفرانسیل انحنا of curves of surfaces Euler–Maclaurin formula Gabriel's Horn برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid