تابع نمایی

تابع نمایی[1] (به انگلیسی: Exponential function) تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت ‎ $\exp(x)$ ‎ یا $e^{x}$ نوشته می‌شود که $e$ عدد اویلر(ثابت نپر) با مقدارِ تقریبی ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

تابع نمائی

y=e^{x}

البته، این تابع را می‌توان به صورت $a^{x}$ نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

\,\!\,a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ $a$ می‌خوانیم که $a$ عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع $ka^{x}$ است.

عموماً متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس $\ln(y)=x$ را $\exp(x)=e^{x}=y$ گویند.

قرینه تابع نمایی

تابع $a^{-x}$ قزینه تابع $a^{x}$ می‌باشد.

$y=a^{-x}=({\frac {1}{a}})^{x}$

نکته: این دو تابع نسبت به محور yها قرینه یکدیگر هستند.

تابع $-a^{x}$ قزینه تابع $a^{x}$ می‌باشد.

نکته: این دو تابع نسبت به محور Xها قرینه یکدیگر هستند.

ویژگی‌ها

تابع نمایی معکوسِ تابع لگاریتم طبیعی (Y=ln(x است.
دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
برد آن تمام اعداد مثبت است.
مشتق آن همواره با خودش برابر یا بزرگ‌تر و تابعی پیوسته و صعودی از x است.

نمودار تابع نمایی دو حالت کلّی دارد؛ مثلاً:

وقتی a کوچک‌تر از یک است، با افزایشِ x مقدار y کاهش می‌یابد.
وقتی a بزرگتر از یک است، با افزایشِ x مقدار y افزایش می‌یابد.

کاربرد

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست شناسی کاربردهای فراوانی دارد. از این‌رو، توابع نمایی و مسائل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسائل زندگی واقعی سودمند باشند.

کسر مسلسل تابع $e^{x}$

برای تابع $e^{x}$ می‌توان کسری را به صورت زیر معرفی کرد:

$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}$

مثال

یک هنرمند درخت چوبی را با استفاده از تعدادی قطعهٔ چوب شاخه مانند ساخته است. به این‌ترتیب، روی دسته‌های شاخهٔ اصلی شاخه‌هایِ دیگری ساخت و این کار را تا هشت سطح ادامه داد. جدول عملکرد وی به صورت زیر است:

توان ۲ (^)	تعداد شاخه‌ها	سطح
۲^۰	۱	اصلی
۲^۱	1(2)=۲	اول
۲^۲	2(2)=۴	دوم
۲^۳	2(2)(2)=۸	سوم
۲^۴	2(2)(2)(2)=۱۶	چهارم
۲^۵	2(2)(2)(2)(2)=۳۲	پنجم
۲^۶	2(2)(2)(2)(2)(2)=۶۴	ششم
۲^۷	2(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۱۲۸	هفتم
۲^۸	2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۲۵۶	هشتم

رابطهٔ بین توان و تعداد شاخه‌ها برابر است با:

۲ به توان ۸ =۲۵۶

نگارخانه

جستارهای وابسته

رشد نمایی

منابع

«تابعِ نمایی» [ریاضی] هم‌ارزِ «exponential function»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ تابعِ نمایی)

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Exponential function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۴ ژوئن ۲۰۰۸.

پیوند به بیرون

مثال‌های عملی از تابع نمایی

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ تابع نمایی موجود است.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] «تابعِ نمایی» [ریاضی] هم‌ارزِ «exponential function»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ تابعِ نمایی)

توابع ریاضی
مفاهیم	تابع یک به یک، تابع پوشا، تابع زوج و فرد، تابع تحلیلی، تابع برداری، تابع پیوسته، تابع دیفرانسیل‌پذیر، تابع یکنوا	$x \mapsto f (x)$
توابع متعارف	تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، توابع چندجمله‌ای، توابع گویا، توابع مثلثاتی، تابع نمایی (تابع هذلولوی)، قدر مطلق، لگاریتم
توابع مثلثاتی	سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، توابع وارون مثلثاتی، فهرست انتگرال توابع مثلثاتی، مشتق توابع مثلثاتی
توابع خاص	تابع بسل، تابع لژاندر، تابع پله‌ای، تابع گاما، تابع خطا، تابع چبیشف، تابع گرین، دلتای دیراک، تابع زتای ریمان، تابع هیون، تابع گاوسی، تابع دیریکله

حسابان
پیش حسابان	بسط دوجمله‌ای تابع مقعر تابع پیوسته فاکتوریل تفاضل محدود متغیر آزاد و متغیر پابند نمودار تابع Linear function رادیان قضیه رول Secant شیب مماس
حد (ریاضی)	شکل نامعلوم حد تابع حد یک-طرفه حد دنباله مرتبه تخمین (ε, δ)-definition of limit
حساب دیفرانسیل	مشتق دیفرانسیل (ریاضیات) معادله دیفرانسیل عملگر دیفرانسیلی قضیه مقدار میانگین نمادگذاری‌های مشتق Leibniz's notation نمادگذاری‌های مشتق قواعد دیفرانسیل گیری linearity Power قواعد دیفرانسیل گیری قاعده زنجیری قاعده هوپیتال قاعده ضرب General Leibniz's rule قاعده خارج قسمت Other techniques تابع ضمنی Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates نقاط مانا First derivative test Second derivative test Extreme value theorem بیشینه و کمینه کاربرد های دیگر روش نیوتن قضیه تیلور
انتگرال	پاد مشتق طول قوس انتگرال Constant of integration Differentiation under the integral sign قضیه اساسی حسابان Differentiating under the integral sign انتگرال‌گیری جزء به جزء Integration by substitution جانشینی مثلثاتی تغییر متغیر اویلر Weierstrass Partial fractions in integration Quadratic integral قانون ذوزنقه حجم‌ها Washer method روش پوسته
حساب برداری	مشتق‌ها تاو (ریاضی) مشتق جهت‌دار دیورژانس گرادیان عملگر لاپلاس قضایای پایه‌ای قضیه گرادیان قضیه گرین Stokes' قضیه دیورژانس
حساب چندمتغیره	قضیه دیورژانس Geometric ماتریس هسین ماتریس ژاکوبی ضرایب لاگرانژ انتگرال خطی حساب ماتریس‌ها انتگرال چندگانه مشتق جزئی انتگرال سطحی انتگرال حجمی مباحث پیشرفته Differential forms Exterior derivative قضیه استوکس Tensor calculus
دنباله و سری	Arithmetico–geometric sequence انواع سری Alternating سری دو جمله‌ای سری فوریه سری هندسی سری هارمونیک سری (ریاضیات) سری توانی بسط تیلور بسط تیلور Telescoping آزمون‌های همگرایی Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison آزمون نسبت Root آزمون جمله
توابع خاص و اعداد	عدد برنولی E (عدد) تابع نمایی لگاریتم طبیعی تقریب استرلینگ
تاریخچه حسابان	Adequality بروک تیلور کولین مک‌لورین Generality of algebra گوتفرید لایبنیتس بی‌نهایت کوچک حسابان آیزاک نیوتن Fluxion Law of Continuity لئونارد اویلر Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
لیست‌ها	قواعد دیفرانسیل گیری فهرست انتگرال تابع‌های نمایی فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی فهرست انتگرال تابع‌های گنگ فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی فهرست انتگرال توابع گویا فهرست انتگرال توابع مثلثاتی Secant Secant cubed فهرست حدها فهرست‌های انتگرال‌ها
موضوعات متفرقه	هندسهٔ دیفرانسیل انحنا of curves of surfaces Euler–Maclaurin formula Gabriel's Horn برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid

ثابت ریاضی e
بخشی از مجموعه مقاله‌های پیرامون:

لگاریتم طبیعی • تابع نمایی
کاربردها
فرمول اویلر • نیمه‌عمر • رشد نمایی • ثابت واپاشی • تساوی اویلر
تعریف $e$ :
اثبات گنگ بودن عدد e • نمایش عدد e • نظریه لیندمن-وایرشتراس
افراد
جان نپر • لئونارد اویلر