تابع پله‌ای

تابعی مثل ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$، یک تابع پله خوانده می‌شود اگر بتوان آن را به شکل زیر نوشت

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)\,}$ for all real numbers ${\displaystyle x}$

که ${\displaystyle n\geq 0}$ و ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$ اعداد حقیقی، ${\displaystyle A_{i}}$ فاصله، و ${\displaystyle \chi _{A}\,}$ تابع مشخصه ${\displaystyle A}$ هستند:

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x\in A,\\0&{\mbox{if }}x\notin A.\\\end{cases}}}$

در این تعریف، فاصله‌های ${\displaystyle A_{i}}$ را می‌توان دارای خواص زیر دانست:

1. فاصله‌ها گسسته هستند، ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ برای ${\displaystyle i\neq j}$
2. اتحاد فاصله‌ها برابر کل خط حقیقی (محور حقیقی) است، ${\displaystyle \cup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$.

در واقع، اگر نقطه شروعمان متفاوت باشد، می‌توان مجموعه‌ای از فاصله‌های مختلف را در نظر گرفت که فرض‌ها در مورد آن‌ها صدق کنند. برای مثال، تابع پله

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}\,}$

را می‌توان به شکل زیر نوشت

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.\,}$

تابع پله هویساید یک تابع پله‌ای است که زیاد استفاده دارد.

• یک تابع ثابت مثال کوچکی از یک تابع پله است. در نتیجه، تنها یک فاصله وجود دارد، ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} }$.
• تابع هویساید (H(x یک تابع پله مهم است. در پس برخی از آزمون‌های سیگنال یک مفهوم ریاضی نهفته است، مثل آنهایی که برای بدست آوردن پاسخ پله یک سیستم دینامیکی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

تابع مستطیلی، تابع پله‌ای ساده دیگر.

• تابع مستطیلی، صورت نرمال شده تابع قوطی یک مثال از تابع پله واحد ساده است و برای مدل کردن تابع پالس مورد استفاده قرار می‌گیرد.

• جمع و ضرب دو تابع پله‌ای یک تابع پله‌ای است. حاصلضرب یک تابع پله‌ای با یک عدد نیز همچنان یک تابع پله‌ای است. در نتیجه تابع پله‌ای بر روی اعداد حقیقی یک جبر را تشکیل می‌دهد.
• یک تابع پله‌ای تنها تعداد متناهی از اعداد را می پذیرد. اگر فاصله‌های ${\displaystyle A_{i},}$، به ازای ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n,}$ در تعریف بالا از تابع پله متفاوت باشند و جمع آن محور حقیقی باشد، آنگاهبه ازای ${\displaystyle x\in A_{i}}$ داریم ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}\,}$
• انتگرال لبسگو یک تابع پله ${\displaystyle \textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}\,}$ برابر ${\displaystyle \textstyle \int \!f\,dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),\,}$ است که ${\displaystyle \ell (A)}$ طول ${\displaystyle A,}$ است و در اینجا فرض می کنیم که کل فاصله‌های ${\displaystyle A_{i}}$ دارای طول متناهی هستند. در واقع این تساوی (که به ما به عنوان تعریف به آن نگاه می کنیم) می‌توانند اولین قدم در ساخت انتگرال لبسگو هستند.[2]

• تابع پله‌ای هوی‌ساید