تابع هیون

با انتخاب ${\displaystyle w(z)=z^{-\gamma /2}(z-1)^{-\delta /2}(z-a)^{-\epsilon /2}W(z)}$ حالت نرمال معادله هیون به صورت زیر نوشته می‌شود[12].

${\displaystyle {\frac {{d}^{2}W}{{dz}^{2}}}=\left({\frac {A}{z}}+{\frac {B}{z-1}}+{\frac {C}{z-a}}+{\frac {D}{z^{2}}}+{\frac {E}{(z-1)^{2}}}+{\frac {F}{(z-a)^{2}}}\right)W}$

در معادله بالا ${\displaystyle A+B+C=0}$ می‌باشند. پارامترهای ${\displaystyle A,B,C,D,E,F}$ از روابط زیر قابل محاسبه هستند.[12]

${\displaystyle C={\frac {\gamma \epsilon }{2a}}+{\frac {\delta \epsilon }{2(a-1)}}-{\frac {a\alpha \beta -q}{a(a-1)}}}$	${\displaystyle B={\frac {\gamma \delta }{2}}-{\frac {\delta \epsilon }{2(a-1)}}-{\frac {q-\alpha \beta }{a-1}}}$	${\displaystyle A=-{\frac {\gamma \delta }{2}}-{\frac {\gamma \epsilon }{2a}}+{\frac {q}{a}}}$
${\displaystyle F={\tfrac {1}{2}}\epsilon \left({\tfrac {1}{2}}\epsilon -1\right)}$	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}\delta \left({\tfrac {1}{2}}\delta -1\right)}$	${\displaystyle D={\tfrac {1}{2}}\gamma \left({\tfrac {1}{2}}\gamma -1\right)}$

با تغییر متغیر ${\displaystyle z=\sin ^{2}(\theta )}$ می‌توان به حالتی مثلثاتی از معادله هیون دست پیدا کرد[13].

${\displaystyle {\frac {{d}^{2}w}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+\left(\left(2\gamma -1\right)\cot \left(\theta \right)-(2\delta -1)\tan(\theta )-{\frac {\epsilon \sin(2\theta )}{a-\sin ^{2}(\theta )}}\ \right){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \theta }}+4{\frac {\alpha \beta \sin ^{2}(\theta )-q}{a-\sin ^{2}(\theta )}}w=0}$

با جایگذاری ${\displaystyle a=k^{-2}}$ و ${\displaystyle z={\mathop {\mathrm {sn^{2}} } }\left(\zeta ,k\right)}$ معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی به صورت زیر قابل نمایش است[14].

${\displaystyle {\frac {{d}^{2}w}{{d\zeta }^{2}}}+\left((2\gamma -1){\frac {\mathop {\mathrm {cn} } \zeta \mathop {\mathrm {dn} } \zeta }{\mathop {\mathrm {sn} } \zeta }}-(2\delta -1){\frac {\mathop {\mathrm {sn} } \zeta \mathop {\mathrm {dn} } \zeta }{\mathop {\mathrm {cn} } \zeta }}-(2\epsilon -1)k^{2}{\frac {\mathop {\mathrm {sn} } \zeta \mathop {\mathrm {cn} } \zeta }{\mathop {\mathrm {dn} } \zeta }}\right){\frac {dw}{d\zeta }}+4k^{2}(\alpha \beta {\mathop {\mathrm {sn} ^{2}} }\zeta -q)w=0}$

پاسخ معادله هیون، با نماد ${\displaystyle \mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)}$ بر پایه یک سری توانی بر اساس تئوری فوکس-فروبنیوس، حول نقطه ${\displaystyle z=0}$ با احتساب مقدار ${\displaystyle 1}$ در این نقطه و اکسپاننت ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ قابل نوشتن است. در صورتی که مقدار اکسپاننت دیگر٬${\displaystyle \left\{1-\gamma \right\}}$٬ عدد صحیح مثبتی نباشد یا به عبارتی دیگر ${\displaystyle \gamma \neq 0,-1,-2,...}$، پاسخ معادله هیون بر ناحیه ${\displaystyle |z|<1}$ موجود و تحلیلی و به صورت سری توانی زیر است[15].

${\displaystyle \mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}z^{j}}$

ضرایب این سری توانی از رابطه‌ای بازگشتی با احتساب ${\displaystyle P_{j}=(j-1+\alpha )(j-1+\beta )}$٬ ${\displaystyle Q_{j}=j\left((j-1+\gamma )(1+a)+a\delta +\epsilon \right)}$٬ ${\displaystyle R_{j}=a(j+1)(j+\gamma )}$ و به شرح زیر به دست می آیند[15].

${\displaystyle {c_{0}}=1}$

${\displaystyle a\gamma c_{1}-qc_{0}=0}$

${\displaystyle R_{j}c_{j+1}-(Q_{j}+q)c_{j}+P_{j}c_{j-1}=0}$

در صورتی که مقدار اکسپاننت دوم،${\displaystyle \left\{1-\gamma \right\}}$٬ مقدار صحیح مثبتی باشد، یا ${\displaystyle \gamma =0,-1,-2,...}$، پاسخ معادله هیون به صورت زیر است[15].

${\displaystyle z^{1-\gamma }\mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(a,(a\delta +\epsilon )(1-\gamma )+q;\alpha +1-\gamma ,\beta +1-\gamma ,2-\gamma ,\delta ;z\right)}$

پاسخ حول نقطه ${\displaystyle z=1}$ با احتساب اکسپاننت ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ برابر با مقدار زیر است[15].

${\displaystyle \mathop {\mathit {H\!\ell }} \!\left(1-a,\alpha \beta -q;\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma ;1-z\right)}$

همینطور پاسخ حول نقطه ${\displaystyle z=1}$ با احتساب اکسپاننت ${\displaystyle \left\{1-\delta \right\}}$ به صورت زیر نشان داده می‌شود[15].

${\displaystyle (1-z)^{1-\delta }{H\!\ell }\!\left(1-a,((1-a)\gamma +\epsilon )(1-\delta )+\alpha \beta -q;\alpha +1-\delta ,\beta +1-\delta ,2-\delta ,\gamma ;1-z\right)}$

پاسخهای مربوطه معادله هیون، حول نقطه ${\displaystyle z=a}$ با احتساب اکسپاننت‌های ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ و ${\displaystyle \left\{1-\epsilon \right\}}$ به ترتیب به صورتهای زیر قابل محاسبه هستند[15].

${\displaystyle {H\!\ell }\!\left({\frac {a}{a-1}},{\frac {\alpha \beta a-q}{a-1}};\alpha ,\beta ,\epsilon ,\delta$ ;{\frac {a-z}{a-1}}\right)}

${\displaystyle \left({\frac {a-z}{a-1}}\right)^{1-\epsilon }{H\!\ell }\!\left({\frac {a}{a-1}},{\frac {(a(\delta +\gamma )-\gamma )(1-\epsilon )}{a-1}}+{\frac {\alpha \beta a-q}{a-1}};\alpha +1-\epsilon ,\beta +1-\epsilon ,2-\epsilon ,\delta$ ;{\frac {a-z}{a-1}}\right)}

همچنین در ${\displaystyle z=\infty }$ با در نظر گرفتن اکسپاننت‌های ${\displaystyle \left\{\alpha \right\}}$ و ${\displaystyle \left\{\beta \right\}}$ می‌توان به ترتیب جواب‌های معادله هیون را به مانند زیر نمایش داد[15].

${\displaystyle z^{-\alpha }{H\!\ell }\!\left({\frac {1}{a}},\alpha \left(\beta -\epsilon \right)+{\frac {\alpha }{a}}\left(\beta -\delta \right)-{\frac {q}{a}};\alpha ,\alpha -\gamma +1,\alpha -\beta +1,\delta$ ;{\frac {1}{z}}\right)}

${\displaystyle z^{-\beta }{H\!\ell }\!\left({\frac {1}{a}},\beta \left(\alpha -\epsilon \right)+{\frac {\beta }{a}}\left(\alpha -\delta \right)-{\frac {q}{a}};\beta ,\beta -\gamma +1,\beta -\alpha +1,\delta$ ;{\frac {1}{z}}\right)}

تابع هیون، روابط متعددی با توابع گاوس هایپرژئومتریک دارد[18][19].

${\displaystyle {{}_{2}F_{1}}\!\left(\alpha ,\beta$ ;\gamma ;z\right)={H\!\ell }\!\left(1,\alpha \beta ;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)={H\!\ell }\!\left(0,0;\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha +\beta +1-\gamma ;z\right)={H\!\ell }\!\left(a,a\alpha \beta ;\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha +\beta +1-\gamma ;z\right)}

${\displaystyle {H\!\ell }\!\left(2,\alpha \beta$ ;\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha +\beta -2\gamma +1;z\right)={{}_{2}F_{1}}\!\left({\tfrac {1}{2}}\alpha ,{\tfrac {1}{2}}\beta ;\gamma ;1-(1-z)^{2}\right)}

${\displaystyle Hl(2,\alpha \beta$ ;\alpha ,\beta ,{\frac {\alpha +\beta +2}{4}},{\frac {\alpha +\beta }{2}};z)=_{2}^{}{\textrm {F}}_{1}({\frac {\alpha }{4}},{\frac {\beta }{4}};{\frac {\alpha +\beta +2}{4}};1-4[z(2-z)-{\frac {1}{2}}]^{2})}

${\displaystyle {H\!\ell }\!\left(4,\alpha \beta$ ;\alpha ,\beta ,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}}(\alpha +\beta );z\right)=\mathop {{}_{2}F_{1}} \!\left({\tfrac {1}{3}}\alpha ,{\tfrac {1}{3}}\beta ;{\tfrac {1}{2}};1-(1-z)^{2}(1-{\tfrac {1}{4}}z)\right)}

${\displaystyle {H\!\ell }\!\left({\tfrac {1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}},\alpha \beta ({\tfrac {1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{6}});\alpha ,\beta ,{\tfrac {1}{3}}(\alpha +\beta +1),{\tfrac {1}{3}}(\alpha +\beta +1);z\right)=\mathop {{}_{2}F_{1}} ({\tfrac {1}{3}}\alpha ,{\tfrac {1}{3}}\beta$ ;{\tfrac {1}{3}}(\alpha +\beta +1);1-[z/({\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{6}})]^{3})}

همچنین روابطی موجود هستند که در آن‌ها متغیر z در تبدیل از تابع هیون به معادلی به صورت یک تابع هایپرژئومتریک، تغییر توانی نمی‌یابد یا به صورت چندجمله‌ای ظاهر نمی‌شود، بلکه تنها تحت تغییرات جبری قرار میگیرد[20][21].

تابع هیون، با تابع لامه نیز دارای ارتباط است. می‌توان با تغییر متغیر ${\displaystyle z={sn^{2}}\left(\zeta ,k\right)}$، معادله هیون را بر حسب متغیر ${\displaystyle \zeta }$ نمایش داد، به‌طوری‌که ${\displaystyle a=k^{-2}}$٬ ${\displaystyle q=-{\tfrac {1}{4}}ah}$٬ ${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {1}{2}}\nu }$٬ ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{2}}(\nu +1)}$٬ ${\displaystyle \gamma =\delta =\epsilon ={\tfrac {1}{2}}}$. لازم به ذکر است که معادله دیفرانسیل لامه به صورت ${\displaystyle {\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+(h-\nu (\nu +1)k^{2}{{sn}^{2}}\left(z,k\right))w=0}$ نمایش داده می‌شود.

اگر ${\displaystyle w_{m}(z)={(0,1){\mathit {Hf}}_{m}}\!\left(a,q_{m};\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)}$ باشد، آنگاه تعامد زیر برقرار است[23]:

${\displaystyle \int _{\zeta }^{(1+,0+,1-,0-)}t^{\gamma -1}(1-t)^{\delta -1}(t-a)^{{\textstyle \epsilon }-1}w_{m}(t)w_{k}(t)dt=\delta _{m,k}\theta _{m}}$

در رابطه بالا، ${\displaystyle \zeta }$ نقطه‌ای دلخواه بر بازه ${\displaystyle (0,1)}$ است. مسیر انتگرالگیری از نقطه ${\displaystyle \zeta }$ شروع شده و شامل انتگرالگیری بر ناحیه پُکهَمر حول دو نقطه 0 و 1 بوده و در نهایت به نقطه ${\displaystyle \zeta }$ ختم می‌شود. ${\displaystyle \delta _{m,n}}$ تابع دلتای کرونکر و ${\displaystyle \theta _{m}}$ ثابت نرمال‌سازی تعامد نام دارد.

${\displaystyle \theta _{m}=(1-e^{2\pi i\gamma })(1-e^{2\pi i\delta })\zeta ^{\gamma }(1-\zeta )^{\delta }(\zeta -a)^{\textstyle \epsilon }{\frac {f_{0}(q,\zeta )}{f_{1}(q,\zeta )}}\left.{\frac {\partial }{\partial q}}{W}\left\{f_{0}(q,\zeta ),f_{1}(q,\zeta )\right\}\right|_{q=q_{m}}}$

در رابطه بالا، ${\displaystyle f_{0}(q_{m},z)={H\!\ell }\!\left(a,q_{m};\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z\right)}$ و ${\displaystyle f_{1}(q_{m},z)={H\!\ell }\!\left(1-a,\alpha \beta -q_{m};\alpha ,\beta ,\delta ,\gamma ;1-z\right)}$ و ${\displaystyle W}$ نماد رونسکین دو تابع می‌باشد.

چندجمله ای‌های هیون، ${\displaystyle w_{j}={{Hp}_{n_{j},m_{j}}}}$٬ ${\displaystyle j=1,2}$ با شرط ${\displaystyle |n_{1}-n_{2}|+|m_{1}-m_{2}|\neq 0}$ از تعامد دوگانه زیر تبعیت می‌کنند[23].

${\displaystyle \int _{{\mathcal {L}}_{1}}\int _{{\mathcal {L}}_{2}}\rho (s,t)w_{1}(s)w_{1}(t)w_{2}(s)w_{2}(t)dsdt=0}$

در رابطه بالا، ${\displaystyle \rho (s,t)=(s-t)(st)^{\gamma -1}\left((s-1)(t-1)\right)^{\delta -1}\left((s-a)(t-a)\right)^{{\textstyle \epsilon }-1}}$ و ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}$ و ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}$ مسیرهای انتگرالگیری بر ناحیه پُکهَمر بین هریک از دو نقطه ${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$٬ ${\displaystyle \left\{0,a\right\}}$٬ ${\displaystyle \left\{1,a\right\}}$ هستند.

در صورتی که ${\displaystyle w(z)}$ یکی از پاسخهای معادله هیون باشد، می‌توان ${\displaystyle W(z)}$، پاسخی دیگر از معادله هیون را بر اساس رابطه‌ای انتگرالی، با انتخاب ناحیه انتگرالگیری مناسبِ ${\displaystyle C}$، به صورت زیر نشان داد[24].

${\displaystyle W(z)=\int _{C}{\mathcal {K}}(z,t)w(t)\rho (t)dt}$

در این رابطه، ${\displaystyle \rho (t)=t^{\gamma -1}(t-1)^{\delta -1}(t-a)^{\epsilon -1}}$ تابع وزن رابطه انتگرالی و ${\displaystyle {\mathcal {K}}(z,t)}$ کِرنِل رابطه انتگرالی است که میبایست در رابطه زیر صدق کند.

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{z}-{\mathcal {D}}_{t}){\mathcal {K}}=0}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{z}=z(z-1)(z-a)({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}})+\left(\gamma (z-1)(z-a)+\delta z(z-a)+\epsilon z(z-1)\right)({\frac {\partial }{\partial z}})+\alpha \beta z}$

در رابطه بالا، ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{z}}$ اپراتور هیون بر اساس متغیر ${\displaystyle z}$ می‌باشد و مسیر ${\displaystyle C}$ باید رابطه ${\displaystyle \left.p(t)\left({\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial t}}w(t)-{\mathcal {K}}{\frac {dw(t)}{dt}}\right)\right|_{C}=0}$ را برقرار سازد، به‌طوری‌که ${\displaystyle p(t)=t^{\gamma }(t-1)^{\delta }(t-a)^{\epsilon }}$. شیوه محاسبه تابع کرنل معادله انتگرالی با تغییر متغیرهای زیر امکانپذیر است.

${\displaystyle \mathop {\cos } \theta =\left({\frac {zt}{a}}\right)^{1/2}}$

${\displaystyle \mathop {\sin } \theta \mathop {\cos } \phi =i\left({\frac {(z-a)(t-a)}{a(1-a)}}\right)^{1/2}}$

${\displaystyle \mathop {\sin } \theta \mathop {\sin } \phi =\left({\frac {(z-1)(t-1)}{1-a}}\right)^{1/2}}$

تابع کرنل ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\theta ,\phi )}$ باید معادله زیر را پاسخگو باشد. جواب این معادله را می‌توان بر حسب تابع ریمان پی نوشت.

${\displaystyle {\mathop {\sin } ^{2}}\theta \left({\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \theta }^{2}}}+\left((1-2\gamma )\mathop {\tan } \theta +2(\delta +\epsilon -{\tfrac {1}{2}})\mathop {\cot } \theta \right){\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \theta }}-4\alpha \beta {\mathcal {K}}\right)+{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \phi }^{2}}}+\left((1-2\delta )\mathop {\cot } \phi -(1-2\epsilon )\mathop {\tan } \phi \right){\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \phi }}=0}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\theta ,\phi )=\mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&{\frac {1}{2}}-\delta -\sigma &\alpha &{\mathop {\cos } ^{2}}\theta \\1-\gamma &{\frac {1}{2}}-\epsilon +\sigma &\beta &\end{Bmatrix}}\mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&0&-{\frac {1}{2}}+\delta +\sigma &{\mathop {\cos } ^{2}}\phi \\1-\epsilon &1-\delta &-{\frac {1}{2}}+\epsilon -\sigma &\end{Bmatrix}}}$

در رابطه بالا،${\displaystyle \sigma }$ ثابت روش جداسازی متغیرهاست. مثلاً در چندجمله ای‌های هیون، ${\displaystyle \mathop {{\mathit {Hp}}_{n,m}} \!\left(z\right)}$٬ ${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}-\delta -j}$ است به‌طوری‌که ${\displaystyle j=0,1,\dots ,n}$.

اگر ${\displaystyle w(z)}$ یکی از جواب‌های معادله هیون و ${\displaystyle W(z)}$ جوابی دیگر از این معادله باشد، می‌توان رابطه‌ای انتگرالی به شرح زیر بین این دو پاسخ از معادله پیدا کرد[24].

${\displaystyle W(z)=\int _{C_{1}}\int _{C_{2}}{\mathcal {K}}(z;s,t)w(s)w(t)\rho (s,t)dsdt}$

تابع وزن رابطه انتگرالی به صورت ${\displaystyle \rho (s,t)=(s-t)(st)^{\gamma -1}\left((1-s)(1-t)\right)^{\delta -1}\left((1-(s/a))(1-(t/a))\right)^{\epsilon -1}}$ است و کرنل ${\displaystyle {\mathcal {K}}(z;s,t)}$ میباید در معادله دیفرانسیل چند متغیره ${\displaystyle \left((t-z){\mathcal {D}}_{s}+(z-s){\mathcal {D}}_{t}+(s-t){\mathcal {D}}_{z}\right){\mathcal {K}}=0}$ صادق باشد. اپراتور ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{z}}$ نیز اپراتور دیفرانسیلی هیون است. همچنین نواحی انتگرالگیری ${\displaystyle C_{1}}$ و ${\displaystyle C_{2}}$ باید در روابط زیر صدق کنند.

${\displaystyle \left.p(t)\left({\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial t}}w(t)-{\mathcal {K}}{\frac {dw(t)}{dt}}\right)\right|_{C_{1}}=0}$

${\displaystyle \left.p(s)\left({\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial s}}w(s)-{\mathcal {K}}{\frac {dw(s)}{ds}}\right)\right|_{C_{2}}=0}$

در دو رابطه بالا، ${\displaystyle p(t)=t^{\gamma }(t-1)^{\delta }(t-a)^{\epsilon }}$ است. با تغییر متغیرهای زیر، می‌توان تابع کرنل رابطه انتگرالی را محاسبه کرد.

${\displaystyle u={\frac {(stz)^{1/2}}{a}}}$

${\displaystyle v=\left({\frac {(s-1)(t-1)(z-1)}{1-a}}\right)^{1/2}}$

${\displaystyle w=i\left({\frac {(s-a)(t-a)(z-a)}{a(1-a)}}\right)^{1/2}}$

در نهایت با اعمال تغییر متغیرهای مذکور، کرنل رابطه انتگرالی، میبایست معادله دیفرانسیل چند متغیره زیر را ارضا کند.

${\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial u}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial v}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial w}^{2}}}+{\frac {2\gamma -1}{u}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial u}}+{\frac {2\delta -1}{v}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial v}}+{\frac {2\epsilon -1}{w}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial w}}=0}$

نتیجه معادله مذکور بر حسب توابع بسل، به صورت زیر قابل محاسبه است.

${\displaystyle {\mathcal {K}}(u,v,w)=u^{1-\gamma }v^{1-\delta }w^{1-\epsilon }{{F}_{1-\gamma }}\!\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right){{F}_{1-\delta }}\!\left(v{\sqrt {\sigma _{2}}}\right){{F}_{1-\epsilon }}\!\left(iw{\sqrt {\sigma _{1}+\sigma _{2}}}\right)}$

در رابطه بالا ${\displaystyle F_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)}$٬${\displaystyle F_{1-\delta }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)}$٬${\displaystyle F_{1-\epsilon }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)}$ ترکیبهایی خطی از توابع بسل نوع اول و دوم و ${\displaystyle \sigma _{1}}$ و ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ثابتهای جداسازی هستند، به‌طور مثال:

${\displaystyle F_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)=C_{1}J_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)+C_{2}Y_{1-\gamma }\left(u{\sqrt {\sigma _{1}}}\right)}$

با تغییر متغیرهایی بر اساس دستگاه مختصات کروی، می‌توان به صورتی دیگر از معادله کرنل رسید.

${\displaystyle u=r\mathop {\cos } \theta }$

${\displaystyle v=r\mathop {\sin } \theta \mathop {\sin } \phi }$

${\displaystyle w=r\mathop {\sin } \theta \mathop {\cos } \phi }$

${\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial r}^{2}}}+{\frac {2(\gamma +\delta +\epsilon )-1}{r}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \theta }^{2}}}+{\frac {(2(\delta +\epsilon )-1)\mathop {\cot } \theta -(2\gamma -1)\mathop {\tan } \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}{\mathop {\sin } ^{2}}\theta }}{\frac {{\partial }^{2}{\mathcal {K}}}{{\partial \phi }^{2}}}+{\frac {(2\delta -1)\mathop {\cot } \phi -(2\epsilon -1)\mathop {\tan } \phi }{r^{2}{\mathop {\sin } ^{2}}\theta }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \phi }}=0}$

حل معادله بالا، بر اساس توابع ریمان پی به صورت زیر است.

${\displaystyle {\mathcal {K}}(r,\theta ,\phi )=r^{m}{\mathop {\sin } ^{2p}}\theta \mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&0&a&{\mathop {\cos } ^{2}}\theta \\{\tfrac {1}{2}}(3-\gamma )&c&b&\end{Bmatrix}}\mathop {P} \!{\begin{Bmatrix}0&1&\infty &\\0&0&a^{\prime }&{\mathop {\cos } ^{2}}\phi \\1-\epsilon &1-\delta &b^{\prime }&\end{Bmatrix}}}$

پارامترهای معادله بالا، از دسته روابط زیر به دست می آیند.

${\displaystyle m^{2}+2(\alpha +\beta )m-\sigma _{1}=0}$

${\displaystyle a+b=2(\alpha +\beta +p)-1}$

${\displaystyle p^{2}+(\alpha +\beta -\gamma -{\tfrac {1}{2}})p-{\tfrac {1}{4}}\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle ab=p^{2}-p(1-\alpha -\beta )-{\tfrac {1}{4}}\sigma _{1}}$

${\displaystyle c=\gamma -{\tfrac {1}{2}}-2(\alpha +\beta +p)}$

${\displaystyle a^{\prime }+b^{\prime }=\delta +\epsilon -1}$

${\displaystyle a^{\prime }b^{\prime }=-{\tfrac {1}{4}}\sigma _{2}}$

ثابتهای ${\displaystyle \sigma _{1}}$ و ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ثابتهای روش جداسازی متغیرها در حل معادله دیفرانسیل هستند.

این معادله به شکل زیر نمایش داده می‌شود و حاوی دو نقطه منفرد نامنظم از درجه یک در ${\displaystyle z=0,\infty }$ است.

${\displaystyle {\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+\left({\frac {\delta }{z^{2}}}+{\frac {\gamma }{z}}+1\right){\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z^{2}}}w=0}$

معادله بای کانفلوئنت هیون شامل نقطه منفرد منظم در ${\displaystyle z=0}$ و نقطه منفرد نامنظم از درجه دو در ${\displaystyle z=\infty }$ است.

${\displaystyle {\frac {{d}^{2}w}{{dz}^{2}}}+\left({\frac {\gamma }{z}}+\delta +z\right){\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z}}w=0}$