تابع یکنوا

خواص زیر برای تابع یکنوا ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ برقرار هستند:

• ${\displaystyle f}$ دارای حد راست و چپ است.
• ${\displaystyle f}$در مثبت بینهایت و منفی بینهایت ( ${\displaystyle \pm \infty }$ ) دارای حد است که این حد یا یک عدد حقیقی است یا ${\displaystyle \infty }$ یا ${\displaystyle \left(-\infty \right)}$
• ${\displaystyle f}$ تنها می‌تواند پرش ناپیوستگی داشته باشد.
• ${\displaystyle f}$ تنها می‌تواند تعداد شمارایی ناپیوستگی در دامنه اش داشته باشد.

این خواص دلیل مفید بودن توابع یکنوا در آنالیز ریاضی هستند. دو واقعیت دربارهٔ این توابع عبارتند از:

• اگر ${\displaystyle f}$ یک تابع یکنوا باشد که روی بازه ${\displaystyle I}$ تعریف شده باشد، آنگاه ${\displaystyle f}$ تقریباً در همه جا روی ${\displaystyle I}$ قابل مشتق‌گیری است. به عبارت دیگر برای مجموعه ${\displaystyle \left\{x:x\in I\right\}}$ از اعداد ${\displaystyle x}$ در ${\displaystyle I}$ که ${\displaystyle f}$ در نقطه ${\displaystyle x}$ قابل مشتق گیری نباشد، اندازه لبک صفر دارد.
• اگر ${\displaystyle f}$ تابعی یکنوا باشد که روی بازه ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ تعریف شده‌است آنگاه ${\displaystyle f}$ انتگرال ریمان دارد.

یک کاربرد مهم تابع یکنوا در نظریه احتمال است. اگر ${\displaystyle X}$ یک متغیر تصادفی باشد، تابع توزیع تجمعی آن ${\displaystyle F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)}$ صعودی یکنواست.