متغیر تصادفی

در برخی از کتاب‌های قدیمی‌تر به جای «متغیر تصادفی» اصطلاح‌های «متغیر شانسی» و «متغیر استوکاستیکی» هم به کار رفته‌است.[3]

• متغیر تصادفی گسسته

انواع متغیر تصادفی گسسته: ۱. برنولی ۲. دو جمله‌ای ۳. دو جمله‌ای منفی ۴. پواسون ۵. هندسی ۶. فوق هندسی ۷. زتا

• متغیر تصادفی پیوسته

انواع متغیر تصادفی پیوسته:۱. تکنواخت ۲. نمایی ۳. نرمال ۴. گاما ۵. بتا ۶. کشی 7. t استیودنت

با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، متغیر می‌تواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.

یک توزیع همچنین می‌تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد.

/* انواع */ متغیر تصادفی گسسته: { برنولی، دوجمله‌ای، پوآسن، هندسی، دو جمله‌ای منفی، فوق هندسی، زتا (زیپ اف) } متغیر تصادفی پیوسته: { یکنواخت، نرمال، نمایی، گاما، وایبل، کُشـِی، بتا، tاستیودِنت، خِی۲(کای اسکُوِر) , f(فیشر) }

متغیرهای تصادفی گسسته:

متغیر تصادفی برنولی: یک برد وباخت ساده است؛ که مربوط به یک آزمایش برد و باخت ساده است و فقط مقادیر ۰٬۱ را می‌پذیرد. احتمال موفقیت را با p و احتمال شکست را با q نشان می‌دهند. مثال: در یک سکهٔ سالم احتمال ظاهر شدن شیر ۲برار احتمال ظاهر شدن خط است اگر xتعداد شیرهای ظاهر شده در یکبار پرتاب سکه باشد جدول احتمال xرا تشکیل دهید.

متغیر تصادفی دوجمله ای: از تکرار آزمایش برنولی تعداد nبار متغیر تصادفی دو جمله‌ای حاصل می‌شود. مثال:یک سکه سالم ۳بار پرتاب می‌شود (یا ۳سکه پرتاب می‌شود) اگر xتعداد شیرهای ظاهر شده باشد مجموع مقادیر x عبارت است از: {۰٬۱٬۲٬۳}=(p(x

متغیر تصادفی هندسی (متغیر هندسی): اگر یک آزمایش برنولی آنقدر تکرار شود تا اولین موفقیت ظاهر شود تعداد دفعات تکرار آزمایش را متغیر تصادفی است که متغیر تصادفی هندسی نامیده می‌شود. مثال:یک سکه سالم آنقدر پرتاب می‌شود تا اولین شیر ظاهر شود احتمال آزمایش پس از ۱۰دفعه پرتاب تا زمانی که متوقف شود.

متغیر تصادفی دو جمله‌ای منفی: اگر یک آزمایش برنولی آنقدر تکرار شود تا kاُمین موفقیت ظاهر شود آنگاه تعداد دفعات تکرار آزمایش یک متغیر تصادفی است، که متغیر تصادفی دوجمله‌ای منفی نامیده می‌شود. مثال:یک سکهٔ سالم آنقدر پرتاب می‌شود که (سومین) شیر ظاهر شود، احتمال متوقف شدن آزمایش در پرتاب هشتم.

متغیر تصادفی فوق هندسی: اگر در جامعه‌ای به حجم K ,N نفر دارای یک ویژگی بخصوص باشند و از این جامعه یک نمونه به حجم n انتخاب کنیم در صورتی که تعداد اعضای نمونه که دارای آن ویژگی هستند را با x نشان دهیم آنگاه x یک متغیر تصادفی است که متغیر تصادفی فوق هندسی نامیده می‌شود. مثال: ۲۵٪ پنالتی‌های یک بازیکن بسکتبال وارد سبد نمی‌شود احتمال اولین پنالتی داخل سبد پس از ۶پرتاب.

متغیر تصادفی پواسون: تعداد آزمایش‌های تصادفی که در یک محدوده مشخص رخ می‌دهد متغیر تصادفی پواسون نامیده می‌شود. مثال: تعداد پست‌های خالی که (در طول یک سال) در دیوان عالی ایجاد می‌شود.

نتایج ممکن برای آزمایش پرتاب سکه شیر و خط است پس { شیر، خط }=${\displaystyle \Omega }$ می‌توانیم متغیر تصادفی ${\displaystyle Y}$ را به صورت زیر تعریف کنیم

${\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{heads}},\\0,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{tails}}.\end{cases}}}$

اگر فرض کنیم که احتمال شیر یا خط آمدن یکسان و برابر ${\displaystyle 0.5}$ است آنگاه تابع جرمی احتمال (pmf) به صورت زیر است.

${\displaystyle \rho _{Y}(y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}y=0.\end{cases}}}$

برای توصیف نتیجه یک پرتاب تاس نیز می‌توان از متغیر تصادفی استفاده کرد فضای حالت را به شکل مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}=${\displaystyle \Omega }$ زیر در نظر می‌گیریم اگر متغیر تصادفی X را مساوی با نتیجه تاس تعریف کنیم آنگاه:

${\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if a 1 is rolled}},\\2,&{\text{if a 2 is rolled}},\\3,&{\text{if a 3 is rolled}},\\4,&{\text{if a 4 is rolled}},\\5,&{\text{if a 5 is rolled}},\\6,&{\text{if a 6 is rolled}}.\end{cases}}}$

و pmf این متغیر به صورت زیر خواهد بود.

${\displaystyle \rho _{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}},&{\text{if }}x=1,2,3,4,5,6,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

به عنوان یک مثال برای حالت پیوسته یک دیسک گردان که با چرخش خود می‌تواند جهتی را در افق مشخص کند در نظر بگیرید می‌توانیم جهت را با شمال و شمال شرق و … نشان دهیم اما متداول‌تر است که جهات را به اعداد حقیقی نسبت دهیم. برای این کار فرض می‌کنیم که نتیجه آزمایش را با زاویه‌ای که با سمت شمال می‌سازد توصیف کنیم در این صورت متغیر تصادفی می‌تواند مقادیر بازه (۰٬۳۶۰] را بگیرد. در این حالت اگر X را به عنوان متغیر تصادفی برابر با زاویه با شمال قرار دهیم احتمال وقوع هر X حقیقی برابر ۰ خواهد بود اما احتمال انتخاب شدن یک بازه مقداری بزرگتر از صفر خواهد بود برای مثال احتمال این که X در بازه [۰٬۱۸۰] قرار داشته باشد برابر ۰٫۵ است. در این حالت به جای استفاده از تابع جرمی احتمال از تابع چگالی احتمال استفاده می‌کنیم و می‌گوییم که چگالی احتمال X برابر ۱/۳۶۰ است و احتمال قرار گرفتن X در بازه‌ای به طول L برابر L/۳۶۰ است در حالت کلی برای حساب کردن احتمال قرار گرفتن X در یک بازه باید از تابع چگالی احتمال روی آن بازه انتگرال بگیریم.

یک مثال برای حالت مختلط این است که سکه را برتاب کنیم و در صورت این مه نتیجه شیر بود دیسک را بجرخانیم اگر نتیجه خط بود X=-۱ و اگر شید بود X برابر با زاویه با شمال است در این صورت احتمال X=-۱ برابر ۰٫۵ خواهد بود و احتمال حالت پیوسته را نیز با توجه به مثال قبل می‌توان حساب کرد (چگالی احتمال برابر ۱/۷۲۰ است).

تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به شکل زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$

به عبارتی این تابع احتمال این که نتیجه از عددی خاص کوچکتر باشد را به ما می‌دهد. برخی از خواص این تابع در زیر آمده‌است.

۱-تابع ${\displaystyle F_{X}(x)}$ تابعی صعودی است.

۲- ${\displaystyle F_{X}(\infty )=1}$ ${\displaystyle lim_{x\to \infty }F_{X}(x)=}$ (حد در بی‌نهایت)

۳- ${\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}$ ${\displaystyle lim_{x\to -\infty }F_{X}(x)=}$

اگر X یک متغیر تصادفی روی ${\displaystyle \Omega \,\!}$ باشد و ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ باشد آنگاه ${\displaystyle Y=g(X)\,\!}$ نیز یک متغیر تصادفی روی ${\displaystyle \Omega \,\!}$ خواهد بود. تابع توزیع تجمعی ${\displaystyle Y}$ از رابطه زیر تبعیت می‌کند

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).}$

اگر g معکوس پذیر باشد یعنی g^−۱ وچود داشته باشد و با فرض صعودی بودن g می‌توان به رابطه زیر رسید.

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)=\operatorname {P} (X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y))}$

با فرض معکوس‌پذیری و مشتق‌پذیری می‌توان با مشتق گرفتن از دو طرف رابطه بالا نسبت به y رابطه‌ای بین دو تابع چگالی احتمال نیز پیدا کرد که به شکل زیر است.

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|}$.

اکر رابطه معگوس‌پذیری برقرار نباشد اما تعداد ریشه‌های g برای هر مقدار y تعداد شمارایی باشد (یعنی تعداد محدود یا شمارا نامحدودی ریشه برای (y = g(x_i داشته باشیم) رابطه بین دو تابع چگالی احتمال به صورت زیر در می‌آید.

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}$

که (x_i = g_i^-۱(y.

تعابیر مختلفی برای تساوی دو متغیر تصادفی وجود دارد. دو متغیر می‌توانند مساوی باشند یا در توزیع مساوی باشند (equal in distribution) یا تقریباً همه جا برابر (almost surely equality) باشند.

• توزیع احتمال

• فروند، جان. آمار ریاضی؛ ترجمه علی حمیدی، محمدقاسم وحیدی‌اصل. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۷۸. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۹۱۶-۹

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Random_variable&oldid=437209168

Sheldon Ross ,Introduction to Probability Models Tenth Edition page 25