آنالیز تابعی

آنالیز تابعی، شاخه ای از آنالیز ریاضیست که مطالعه بر روی فضاهای برداری مجهز به ساختار های مرتبط با حد (مثل ضرب داخلی، نرم، توپولوژی و ...) و توابع خطی که روی این فضاها تعریف می شوند (و با آن ساختار های مذکور به طرز مناسبی ارتباط برقرار می کنند) هسته ی آن را شکل می دهند. ریشه های تاریخی آنالیز تابعی در مطالعه ی فضاهای توابع و فرموله کردن خواص تبدیل توابعی چون تبدیل فوریه قرار دارد. چنین تبدیل هایی، عملگرهای پیوسته، یکه ای و ... را بین فضاهای توابع تعریف می کنند.

یکی از حالت های نوسانی ممکن از یک سر طبل دایره ای شکل ایده‌آل. این حالت ها، توابع ویژه های یک عملگر خطی روی فضای توابع می باشند که ساختاری در آنالیز تابعیست.

کلمه ی تابعی (یا تابعک) (به انگلیسی: functional) ریشه در حساب تغییرات دارد و به معنای تابعی است که ورودی آن یک تابع می باشد. این اصطلاح را اولین بار هادامارد در کتاب ۱۹۱۰ خود که در همین موضوع نوشته شده بود به کار برد. با این حال، مفهوم عمومی یک تابعک پیش از آن نیز در ۱۸۸۷ توسط ریاضیدان و فیزیکدان ایتالیایی، ویتو وولترا به کار رفته است.[1][2] نظریه تابعک های غیر خطی توسط شاگردان هادامارد بخصوص فرشه و لوی ادامه یافت. همچنین هادامارد مکتب مدرن آنالیز تابعک های خطی را بنیان نهاد که پس از او توسط ریس (Riesz) و گروهی از ریاضیدانان لهستانی اطراف استفان باناخ توسعه و ادامه یافت.

در کتب مقدماتی مدرن آنالیز تابعی، این موضوع به عنوان مطالعه فضاهای برداری مجهز به توپولوژی در نظر گرفته شده که یکی از ویژگی های خاصشان بی نهایت بعدی بودن است. اگر بخواهیم آنالیز تابعی را با جبر خطی مقایسه کنیم، جبر خطی عموماً با فضاهای متناهی بعدی سروکار دارند که از توپولوژی در آن ها استفاده نمی‌شود. بخش مهمی از آنالیز تابعی، توسعه قضایای مربوط به نظریه اندازه، انتگرال گیری و احتمالات به فضاهای بی نهایت بعدی است که به آن آنالیز بی نهایت بعدی نیز گفته می شود.