فضای برداری

فضای برداری مجموعه‌ای از بردارهاست که مقیاس‌پذیرند و قابلیت جمع شدن را دارند.

یک فضای برداری یا فضای خطی از موارد زیر تشکیل شده‌است:[1]

اصول موضوعه فضای برداری

اصول موضوع بسته بودن
بسته بودن نسبت به جمع برداری	به هر جفت عنصر ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ در ${\displaystyle V}$ عنصری منحصر به فرد در ${\displaystyle V}$ مربوط است به نام مجموع ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ که با ${\displaystyle \alpha +\beta }$ نشان داده می‌شود.
بسته بودن نسبت به ضرب در اعداد حقیقی	به هر ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle V}$ و هر عدد حقیقی ${\displaystyle c}$ عنصری در ${\displaystyle V}$ مربوط است به نام حاصلضرب ${\displaystyle c}$ و ${\displaystyle \alpha }$ که با ${\displaystyle c\alpha }$ نشان داده می‌شود.
اصول موضوع جمع	عمل جمع با این تعریف که برای هر ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ در ${\displaystyle V}$، ${\displaystyle \alpha +\beta }$ در ${\displaystyle V}$ با این شرایط
شرکت‌پذیری در جمع	${\displaystyle \alpha +(\beta +\gamma )=(\alpha +\beta )+\gamma }$
خاصیت جابه‌جایی در جمع برداری	${\displaystyle \alpha +\beta =\beta +\alpha \,}$
عنصر همانی (عضو خنثی) در جمع برداری	بردار یکتای ${\displaystyle 0}$ وجود دارد به طوریکه به ازای هر ${\displaystyle \alpha }$ عضو ${\displaystyle V}$، ${\displaystyle \alpha +0=\alpha }$
عنصر وارون در جمع برداری	به ازای هر بردار ${\displaystyle \alpha }$ عضو ${\displaystyle V}$، بردار یکتای ${\displaystyle -\alpha }$ وجود دارد به طوریکه ${\displaystyle \alpha +(-\alpha )=0}$
اصول موضوع ضرب	عمل ضرب با این تعریف برای هر بردار ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle V}$ و اسکالر ${\displaystyle c}$ در میدان ${\displaystyle F}$، با این شرایط:
شرکت‌پذیری در ضرب	${\displaystyle (c_{1}c_{2})\alpha =c_{1}(c_{2}\alpha )}$[nb 1]
عنصر همانی در ضرب اسکالر	به ازای هر ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle V}$، ${\displaystyle 1\alpha =\alpha }$
پخش‌پذیری ضرب اسکالر برای جمع در ${\displaystyle V}$	${\displaystyle c(\alpha +\beta )=c\alpha +c\beta }$
پخش‌پذیری ضرب اسکالر برای جمع اعداد	${\displaystyle (c_{1}+c_{2})\alpha =c_{1}\alpha +c_{2}\alpha }$

هرگاه ${\displaystyle V}$ فضایی برداری باشد بر میدان ${\displaystyle F}$ و ${\displaystyle S}$ زیرمجموعه‌ای از ${\displaystyle V}$ باشد، در این صورت پوچساز ${\displaystyle S}$ عبارتست از تابعک‌های خطی ${\displaystyle f}$ روی ${\displaystyle V}$ که به ازای هر ${\displaystyle \alpha }$ در ${\displaystyle S}$ داریم ${\displaystyle f(\alpha )=0}$. پوچساز را با ${\displaystyle S^{\circ }}$ نشان می‌دهند.

در واقع داریم:

${\displaystyle S^{\circ }={\big \{}f|f(\alpha )=0\quad \forall \alpha \in S{\big \}}}$

• تحلیل مولفه‌های اصلی
• میدان برداری
• نرم‌ها

• جبر خطّی عددی (انگلیسی)
• مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)
• فضای برداری

1. This axiom and the next refer to two different operations: scalar multiplication: bv; and field multiplication: ab. They do not assert the associativity of either operation. More formally, scalar multiplication is a monoid action of the multiplicative monoid of the field F on the vector space V.