میدان (ریاضیات)

در ریاضیات، یک میدان، مجموعه ای است که بر روی آن جمع، تفاضل، ضرب و تقسیم تعریف شده اند. این چهار عمل در میدان همچون چهار عمل متناظرشان در اعداد حقیقی و گویا عمل می کنند. لذا یک میدان ساختار جبری بنیادینی است که به طور گسترده در جبر، نظریه اعداد و بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات مورد استفاده قرار می گیرد.

یک هفت ضلعی منتظم را نمی توان با استفاده از خط کش و پرگار ساخت؛ این حکم را می توان با استفاده از میدان اعداد ساخت پذیر اثبات نمود.

شناخته شده ترین میدان ها، میدان اعداد گویا، میدان اعداد حقیقی و میدان اعداد مختلط می باشد. بسیاری از میدان های دیگر چون میدان توابع گویا، میدان توابع جبری، میدان اعداد جبری و میدان p-adic ها در ریاضیات به طور معمول مورد استفاده و مطالعه قرار گرفته اند، بخصوص در نظریه اعداد و هندسه جبری. بسیاری از پروتکل های رمزنگاری وابسته به میدان های متناهی، یعنی میدان هایی با تعداد اعضای متناهی می باشند.

رابطه ی دو میدان با مفهوم توسعه میدان ها بیان می شود. نظریه گالوا، که توسط اواریسته گالوا در دهه 1830 آغاز گشت، خود را وقف فهمیدن تقارن توسعه میدان ها نموده است. این نظریه، در میان نتایج دیگر، نشان می دهد که تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان با خطکش و پرگار انجام داد. به علاوه این که نشان می دهد معادلات درجه پنج از نظر جبری حلپذیر نیستند.

میدان ها در بسیاری از قلمرو های ریاضیاتی، مفاهیم بنیادینی هستند. از جمله در آنالیز که وابسته به میدان ها بوده و بر روی آن ها ساختار دیگری می افزاید. قضایای بنیادین آنالیز وابستگی تنگاتنگی به خواص ساختاری میدان اعداد حقیقی دارند. یک کاربرد دیگر که از نظر جبری مهم است این است که هر میدان را می توان به عنوان اسکالر هایی برای یک فضای برداری مورد استفاده قرار داد، که تم اصلی جبر خطی می باشد. میدان اعداد، رابطه خویشاوندی نزدیکی با اعداد گویا داشته و عمیقاً در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار می گیرند. و در نهایت با کمک میدان توابع می توان خواص اشیاء هندسی را توصیف کرد.

تعریف

یک میدان را به طور غیر رسمی می توان یک مجموعه در نظر گرفت که بر روی آن دو عمل تعریف شده است: یکی از این عمل ها جمع است و به صورت a + b نوشته شده، دیگری ضرب است که به صورت a ⋅ b نوشته می شود. هردوی این عمل ها رفتار مشابهی دارند، از جمله این که معکوس جمعی برای تمام عناصر a وجود داشته و به صورت −aنوشته می شود، همچنین معکوس ضربی برای تمام عناصر غیر صفر b وجود داشته و به صورت b−1 نوشته می شود. این به ما امکان می دهد تا بتوانیم عمل معکوس هر کدام را بدین شکل تعریف کنیم:

تعریف کلاسیک

یک میدان F را به طور رسمی به صورت مجموعه ای تعریف می کنند که دو عمل جمع و ضرب بر روی آن تعریف می شود.[1] یک عمل روی F در حقیقت یک تابع است به صورت F × F → F. به بیان دیگر نگاشتی است که به هر جفت عنصر متعلق به F، یک عنصر از همان مجموعه نسبت می دهد. نتیجه افزودن a و b را جمع a و b نامیده و به شکل a + b نمایش می دهند. به طور مشابه، نتیجه ضرب a و b را به صورت ab یا a ⋅ b نمایش می دهند. این عملیات برای ارضای خواص زیر ضرورت دارند، به این خواص اصول موضوعه میدان می گویند. در این اصول موضوعه، a، b و c عناصر دلخواهی از میدان F هستند.

  • شرکتپذیری جمع و ضرب: a + (b + c) = (a + b) + c و a · (b · c) = (a · b) · c
  • جابجایی جمع و ضرب: a + b = b + a و a · b = b · a
  • همانی جمعی و همانی ضربی: وجود دارد دو عنصر متمایز 0 و 1 در F به گونه ای که a + 0 = a و a · 1 = a
  • معکوسات جمعی: برای هر a در F وجود دارد عنصری در F که به صورت −a نوشته شده و به آن معکوس جمعی a گفته می شود، چنان که a + (−a) = 0.
  • خاصیت توزیع پذیری ضرب بر روی جمع: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

این اصول را می توان اینگونه خلاصه کرد: یک میدان دو عمل دارد، که به آن ها جمع و ضرب می گویند؛ میدان تحت جمع یک گروه آبلی است که همانی آن 0 می باشد؛ عناصر غیر صفر نیز تحت ضرب یک گروه آبلی دیگر تشکیل می دهند که همانی آن ها 1 است؛ ضرب بر روی جمع توزیع پذیر می باشد.

یادداشت ها
    1. Beachy & Blair (2006, Definition 4.1.1, p. 181)

    منابع
    • Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46266-0
    • Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
    • Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2, especially Chapter 13
    • Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (به German), 5: 225–231, doi:10.1007/BF02952522, ISSN 0025-5858, JFM 53.0144.01
    • Ax, James (1968), "The elementary theory of finite fields", Ann. of Math., 2, 88: 239–271, doi:10.2307/1970573
    • Baez, John C. (2002), "The octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 145–205, arXiv:math/0105155, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X
    • Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, Zbl 0739.03027
    • Beachy, John. A; Blair, William D. (2006), Abstract Algebra (3 ed.), Waveland Press, ISBN 1-57766-443-4
    • Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985), Groups, rings and fields: Algebra through practice, Cambridge University Press. See especially Book 3 (شابک ‎۰−۵۲۱−۲۷۲۸۸−۲ ) and Book 6 (شابک ‎۰−۵۲۱−۲۷۲۹۱−۲ ).
    • Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004
    • Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6, MR 1290116
    • Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra II. Chapters 4–7, Springer, ISBN 0-387-19375-8
    • Cassels, J. W. S. (1986), Local fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139171885, ISBN 0-521-30484-9, MR 0861410
    • Clark, A. (1984), Elements of Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics Series, Dover, ISBN 978-0-486-64725-8
    • Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press
    • Corry, Leo (2004), Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd ed.), Birkhäuser, ISBN 3-7643-7002-5, Zbl 1044.01008
    • Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard, ed., Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (به German), 1 (2nd ed.), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn
    • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960
    • Escofier, J. P. (2012), Galois Theory, Springer, ISBN 978-1-4613-0191-2
    • Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra (به German), Vieweg, JFM 50.0042.03
    • Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (2nd ed.), Springer
    • Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9
    • "Field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
    • Hensel, Kurt (1904), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (به German), 128: 1–32, ISSN 0075-4102, JFM 35.0227.01
    • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
    • Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]", Invent. Math., 70 (1): 71–98, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199, MR 0679774
    • Kleiner, Israel (2007), A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309
    • Kiernan, B. Melvin (1971), "The development of Galois theory from Lagrange to Artin", Archive for History of Exact Sciences, 8 (1–2): 40–154, doi:10.1007/BF00327219, MR 1554154
    • Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0943-1, MR 1760173
    • Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (3rd ed.), Springer, doi:10.1007/978-1-4613-0041-0, ISBN 0-387-95385-X
    • Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06567-2, Zbl 1139.11053
    • Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN 978-0-387-72487-4
    • Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, 5 (2nd ed.), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX 10.1.1.36.8448, ISBN 978-1-56881-282-3, MR 2215060
    • Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988), A course in constructive algebra, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-1-4419-8640-5, ISBN 0-387-96640-4, MR 0919949
    • Moore, E. Hastings (1893), "A doubly-infinite system of simple groups", Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3): 73–78, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X, MR 1557275
    • Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, 1093, Springer, doi:10.1007/BFb0101548, ISBN 3-540-13885-4, MR 0769847
    • Ribenboim, Paulo (1999), The theory of classical valuations, Springer Monographs in Mathematics, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-0551-7, ISBN 0-387-98525-5, MR 1677964
    • Scholze, Peter (2014), "Perfectoid spaces and their Applications" (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014, ISBN 978-89-6105-804-9
    • Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, 1999, Springer, ISBN 978-3-642-13367-1
    • Serre, Jean-Pierre (1996) [1978], A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, 7 (2nd ed.), Springer, ISBN 9780387900407, Zbl 0432.10001
    • Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237
    • Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-210-6, Zbl 0746.12001
    • Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Translated from the French by Patrick Ion, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431, Zbl 1004.12003
    • Sharpe, David (1987), Rings and factorization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-33718-6, Zbl 0674.13008
    • Steinitz, Ernst (1910), "Algebraische Theorie der Körper" [Algebraic Theory of Fields], Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309, doi:10.1515/crll.1910.137.167, ISSN 0075-4102, JFM 41.0445.03
    • Tits, Jacques (1957), "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, pp. 261–289
    • van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 328, Springer
    • von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe
    • Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, 151, Springer
    • Warner, Seth (1989), Topological fields, North-Holland, ISBN 0-444-87429-1, Zbl 0683.12014
    • Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd ed.), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
    • Weber, Heinrich (1893), "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen (به German), 43: 521–549, doi:10.1007/BF01446451, ISSN 0025-5831, JFM 25.0137.01
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.