فضای ضرب داخلی

مثالی از ضرب داخلی، همان ضرب نقطه‌ای یا اسکالری بردارها در ${\displaystyle R^{3}}$ است.ضرب اسکالری بردارهای ${\displaystyle \alpha =(x_{1},x_{2},x_{3})}$ و${\displaystyle \beta =(y_{1},y_{2},y_{3})}$ در ${\displaystyle R^{3}}$ عبارت است از:

از نظر هندسی، این ضرب نقطه‌ای عبارت است از حاصل ضرب طول ${\displaystyle \alpha }$ در طول ${\displaystyle \beta }$ در کسینوس زاویه‌ی بین ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ . بنابراین مفاهیم طول و زاویه را در ${\displaystyle R^{3}}$ می‌توان با ضرب اسکالری که به طور جبری تعریف می‌شود نیز تعریف کرد. حال تعریف ضرب داخلی را بسط می‌دهیم.

فرض کنیم F هیئت اعداد حقیقی یا هیئت اعداد مختلط و V فضایی برداری برروی F باشد.یک ضرب داخلی روی V تابعی است که به هر جفت مرتب از بردارهای ${\displaystyle \alpha }$ و${\displaystyle \beta }$ اسکالری چون ${\displaystyle (\alpha |\beta )}$ در F را طوری اختصاص می‌دهد که به ازای همه‌ی ${\displaystyle \alpha }$ ها، ${\displaystyle \beta }$ ها و ${\displaystyle \gamma }$های در V و همه‌ی اسکالرهای c داشته باشیم:

البته اگر در فضای مختلط باشد ویژگی سوم با ویژگی زیر عوض می شود.

ویژگی اول و دوم به خطی بودن رابطه مربوط اند.

مفاهیمی نظیر طول و تعامد به‌وسیله ضرب داخلی روی فضا تحمیل می‌شوند.

به یک فضای ضرب داخلی مختلط فضای یکانی و به یک فضای ضرب داخلی حقیقی با بعد متناهی یک فضای اقلیدسی می‌گویند.

طبق یک قضیه اگر ${\displaystyle V}$ یک فضای ضرب داخلی باشد آنگاه به ازای هر دو بردار ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ در ${\displaystyle V}$ و هر اسکالر ${\displaystyle c}$:

• ${\displaystyle \rVert c\alpha \rVert =\mid c\mid \rVert \alpha \rVert }$
• به ازای ${\displaystyle \alpha \neq 0}$، ${\displaystyle \rVert \alpha \rVert \geq 0}$
• ${\displaystyle \mid (\alpha \mid \beta )\mid \leq \rVert \alpha \rVert \rVert \beta \rVert }$ (نابرابری کوشی-شوارتز)
• ${\displaystyle \rVert \alpha +\beta \rVert \leq \rVert \alpha \rVert +\rVert \beta \rVert }$

• فضای برداری

• کنت هافمن (۱۳۸۵)، جبر خطی، ترجمهٔ جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۳۶۰، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۳۰-X