جبر ترکیبی

در ریاضیات، جبر ترکیبی (به انگلیسی: Composition Algebra)، ${\displaystyle A}$ روی میدان ${\displaystyle K}$، جبری روی ${\displaystyle K}$ است که لزوماً شرکت پذیر نبوده و دارای فرم مربعی ناتبهگن ${\displaystyle N}$ است که در معادله زیر برای تمام ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ در ${\displaystyle A}$ صدق کند:

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

یک جبر ترکیبی شامل پیچشی است که به آن تزویج (عمل مزدوج سازی) گفته و به صورت ${\displaystyle x\mapsto x^{*}.}$ عمل می کند. فرم مربعی ${\displaystyle N(x)\ =\ xx^{*}}$ را نرم این جبر می گویند.

جبر ترکیبی ${\displaystyle \left(A,*,N\right)}$ یا یک جبر تقسیم است یا یک جبر شکافنده، بسته به این که آیا ${\displaystyle v}$ ناصفری در ${\displaystyle A}$ وجود داشته باشد چنان که ${\displaystyle N(v)=0}$، که به آن بردار پوچ گفته می شود.[1] هرگاه ${\displaystyle x}$ بردار پوچ نباشد، معکوس ضربی ${\displaystyle x}$ به صورت ${\displaystyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$ خواهد بود. هرگاه جبر ترکیبی دارای بردار پوچ نا-صفر باشد، ${\displaystyle N}$ فرم مربعی ایزوتروپیک خواهد بود و اصطلاحاً گفته می شود "جبر شکافته می شود".