حلقه (ریاضیات)

حلقه، مجموعه ای چون ${\displaystyle R}$ است که به عمل های دوتایی[1] + و . مجهز شده به گونه ای که در اصول موضوعه زیر به نام اصول موضوعه حلقه ها صدق کند[2][3][4]:

1. ${\displaystyle R}$ تحت جمع یک گروه آبلیست، یعنی:
   • برای تمام ${\displaystyle a,b,c}$ در ${\displaystyle R}$ داریم ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\,}$ (یعنی + شرکت‎پذیر است).
   • برای تمام ${\displaystyle a,b}$ در ${\displaystyle R}$ داریم ${\displaystyle a+b=b+a\,}$ (یعنی + جابجاییست).
   • عنصری چون ${\displaystyle 0}$ در ${\displaystyle R}$ وجود دارد چنان که برای تمام ${\displaystyle a}$ در ${\displaystyle R}$ داشته باشیم ${\displaystyle a+0=a\,}$ (یعنی ${\displaystyle R}$ یک عنصر همانی جمعیست).
   • برای هر ${\displaystyle a}$ در ${\displaystyle R}$ وجود دارد ${\displaystyle -a}$ در ${\displaystyle R}$ چنان که ${\displaystyle a+(-a)=0\,}$ (یعنی، ${\displaystyle -a}$ یک معکوس جمعی برای ${\displaystyle a}$ است).
2. ${\displaystyle R}$ تحت ضرب یک مونوئید است، یعنی:
   • برای تمام ${\displaystyle a,b,c}$ در ${\displaystyle R}$ داریم ${\displaystyle (a.b).c=a.(b.c)}$ (یعنی . شرکت‎پذیر است).
   • عنصری چون ${\displaystyle 1}$ در ${\displaystyle R}$ وجود دارد به گونه ای که برای تمام ${\displaystyle a}$ در ${\displaystyle R}$ داریم ${\displaystyle a.1=a}$ و ${\displaystyle 1.a=a}$ (یعنی ${\displaystyle 1}$ همانی ضربی است)..[5]
3. ضرب بر روی جمع توزیع پذیر است، یعنی:
   • برای تمام ${\displaystyle a,b,c}$ در ${\displaystyle R}$ داریم ${\displaystyle a.(b+c)=(a.b)+(a.c)\,}$ (توزیع پذیری از چپ).
   • برای تمام ${\displaystyle a,b,c}$ در ${\displaystyle R}$ داریم ${\displaystyle (b+c).a=(b.a)+(c.a)\,}$ (توزیع پذیری از راست).

همانطور که در بخش تاریخچه در قسمت پایین توضیح داده شده، بسیاری از مؤلفان از قرارداد دیگری استفاده می کنند که در آن برای یک حلقه وجود عنصر همانی ضربی الزامی نیست. در این مقاله از این قرارداد استفاده شده که وجود عنصر همانی ضربی الزامی است، مگر خلاف آن ذکر شود. مؤلفانی که از قرارداد اخیر (وجود عنصر همانی ضربی) پیروی می کنند، به حلقه هایی که در آن ها عنصر همانی تعریف نشده rng (به صورت rung یا رانگ تلفظ می شود) گویند و برخی مواقع به آن حلقه کاذب (pseudo-ring) هم گفته می شود. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک rng (رانگ) است اما حلقه نیست.

عملیات + و . را به ترتیب جمع و ضرب گویند. معمولاً نماد ضرب یعنی . حذف می شود، لذا کنار هم قرار گرفتن عناصر به صورت ضرب تعبیر می شود. به عنوان مثال ${\displaystyle xy}$ معنی ${\displaystyle x.y}$ می دهد.

گرچه جمع در حلقه جابجاییست، ضرب حلقه لزوماً جابجایی نیست: ${\displaystyle ab}$ لزوماً برابر با ${\displaystyle ba}$ نیست. حلقه هایی که شرط جابجایی ضربی را ارضاء می کنند (مثل حلقه اعداد صحیح) را حلقه جابجایی گویند. کتاب های جبر جابجایی یا هندسه جبری اغلب برای ساده سازی اینگونه قرارداد می کنند که حلقه به معنای حلقه جابجایی است.

در یک حلقه، نیاز نیست که عناصر دارای معکوس ضربی باشند. یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند.

گروه جمعی یک حلقه صرفاً مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می توان از دیگر اصول موضوعه های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعه ی مستقل نیست)[6]. اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر "${\displaystyle 1}$" است، پس اثبات آن در rng قابل استفاده نیست (در مورد رانگ ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی ${\displaystyle ab+cd=cd+ab}$ را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).

برخی از مؤلفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می کنند.[7] این تعریف کلی یک حلقه (که لزوماً شرکت پذیر نباشد، و لزوماً یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.

برخی از خواص پایه ای یک حلقه فوراً از اصول موضعه بدست می آیند:

• همانی جمعی، معکوس های ضربی هر عنصر و همنی ضربی، همگی منحصر به فردند.
• برای هر عنصری چون ${\displaystyle x}$ در یک حلقه چون ${\displaystyle R}$، داریم ${\displaystyle x0=0=0x}$ (صفر نسبت به ضرب یک عنصر جاذب (جذب کننده) است) و ${\displaystyle (-1)x=-x}$.
• اگر در یک حلقه ${\displaystyle R}$ داشته باشیم ${\displaystyle 0=1}$، (یا به طور کلی تر اگر ${\displaystyle 0}$ یک عنصر معکوس پذیر ضربی باشد)، آنگاه ${\displaystyle R}$ تنها یک عنصر خواهد داشت، به چنین حلقه ای، حلقه صفر گویند.
• فرمول دو جمله ای برای تمام زوج عناصر جابجا شونده (یعنی، هر ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ که در رابطه ${\displaystyle xy=yx}$ صدق کنند) برقرار است.

همچنین رجوع کنید به: حساب پیمانه ای

مجموعه ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$ به عملیات زیر مجهز شده است:

• جمع ${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$ در ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ برابر باقیمانده تقسیم ${\displaystyle x+y}$ بر 4 است (چون همیشه ${\displaystyle x+y}$ از 8 کوچکتر است، باقیمانده تقسیم آن بر 4 یا برابر ${\displaystyle x+y}$ است یا ${\displaystyle x+y-4}$). به عنوان مثال، ${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$ و ${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}}$.
• ضرب ${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$ در ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ برابر با باقیمانده تقسیم ${\displaystyle xy}$ بر ${\displaystyle 4}$ است. برای مثال، ${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$ و ${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}}$.

آنگاه، ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ یک حلقه است: هر اصل موضوع از اصل موضوع متناظرش در ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ بدست آمده و این عنصر را اغلب به صورت "x mod 4" یا ${\displaystyle {\overline {x}}}$ نمایش می دهند که با نماد های ${\displaystyle 0,1,2,3,4}$ سازگاری دارند. معکوس جمعی هر عنصر مثل ${\displaystyle {\overline {x}}}$ در ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ به صورت ${\displaystyle -{\overline {x}}}$ است. به عنوان مثال، ${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}}$.