حلقه چندجمله‌ای

حلقه چند جمله ای ${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).}$، بر حسب ${\displaystyle p_{i}=0}$ روی میدان ${\displaystyle \deg(p+q)\leq max(\deg(p),\deg(q)),}$ (می توان به جای میدان از یک حلقه جابجایی هم استفاده کرد.). (تعاریف معادل دیگری هم برای حلقه چند جمله ای وجود دارند که می توان از آن ها نیز استفاده کرد) را می توان به صورت مجموعه ای از عبارات، به نام چند جمله ای ها بر حسب ${\displaystyle p_{i}=0}$ به صورت زیر تعریف کرد:[1]

${\displaystyle P=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0},}$

که در آن ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{m}}$ ضرایب ${\displaystyle P}$ و عضوی از میدان ${\displaystyle \deg(p+q)\leq max(\deg(p),\deg(q)),}$ می باشند، به گونه ای که برای هر ${\displaystyle m>0}$ داریم ${\displaystyle a_{m}\neq 0}$ و ${\displaystyle X,X^{2},...}$ نماد هایی هستند که به عنوان "توان" ${\displaystyle p_{i}=0}$ شناخته شده و از همان قواعد معمول به توان رساندن تبعیت می کنند: ${\displaystyle X^{0}=1}$ و ${\displaystyle X^{1}=X}$ و به طوری که برای هر عدد صحیح نامنفی ${\displaystyle \deg(p)}$ و ${\displaystyle l}$ داریم: ${\displaystyle X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}}$. نماد ${\displaystyle p_{i}=0}$ را نامعین[2] یا متغیر[3] می نامند (لغت "متغیر" از واژه شناسی توابع چند جمله ای می آید. با این حال در اینجا ${\displaystyle p_{i}=0}$ هیچ مقداری اختیار نمی‌کند، و نمی‌تواند تغییر کند و با یک ثابت آن را جایگزین نمود.)

دو چند جمله ای زمانی با هم برابر اند که ضرایب متناظر با هرکدام از ${\displaystyle m}$ ها در هردو با هم برابر باشند.

جور دیگری هم می توان به حلقه چند جمله ای ${\displaystyle \deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).}$ نگاه کرد، اینگونه که به میدان ${\displaystyle \deg(p+q)\leq max(\deg(p),\deg(q)),}$، عضو جدید خارج از میدان ${\displaystyle p_{i}=0}$ را به میدان اضافه می کنیم که به گونه ای که عضو جدید با تمام اعضای قبلی ${\displaystyle \deg(p+q)\leq max(\deg(p),\deg(q)),}$ جابجا شده و خاصیت ویژه دیگری هم ندارد (از همین می توان به عنوان تعریف دیگری از حلقه چند جمله ای بهره جست.).

حلقه چند جمله ای بر حسب که روی تعریف شده است، مجهز به جمع، ضرب و ضرب اسکال است که آن را تبدیل به یک جبر جابجایی می کند. این عملیات بر اساس قواعد معمولی عبارات جبری تعریف می شود. به طور خاص اگر:

و:

آنگاه:

${\displaystyle p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},}$

و:

${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},}$

که در آن ${\displaystyle p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},}$ و ${\displaystyle pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},}$ و:

${\displaystyle k=max(m,n)}$

${\displaystyle l=m+n}$

در فرمول های فوق، می توان با افزودن "جملات ساختگی" با ضرایب صفر، چندجمله ای های ${\displaystyle r_{i}=p_{i}+q_{i}}$ و ${\displaystyle s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.}$ را توسعه داد به گونه ای که ${\displaystyle p_{m}\neq 0}$ و ${\displaystyle -\inf }$ های ظاهر شده در این عبارت تعریف شده باشند. بخصوص وقتی که ${\displaystyle p_{i}}$ باشد برای هر ${\displaystyle q_{i}}$ که ${\displaystyle m<n}$ خواهیم داشت ${\displaystyle i}$. ضرب اسکالر حالت خاصی از همان ضرب عمومی است که در آن ${\displaystyle m<i\leq n}$ به جمله ثابت (جمله ای که مستقل از ${\displaystyle p_{i}=0}$ است) کاهش یافته است؛ یعنی:

${\displaystyle p=p_{0}}$

می توان به راحتی بررسی کرد که سه عملیات بالا در اصول موضوعه جبر جابجایی روی میدان ${\displaystyle \deg(p+q)\leq max(\deg(p),\deg(q)),}$ صدق می کنند. ازینرو، به حلقه های چند جمله ای، جبرهای چندجمله ای نیز گفته می شود.

اغلب تعریف معادل دیگری که شهود کمتری دارد ترجیه داده می شود، چون راحت تر میشود آن را ساخت. به این صورت که چند جمله ای ها به صورت دنباله بی نهایت ${\displaystyle p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}}$ از عناصر ${\displaystyle \deg(p+q)\leq max(\deg(p),\deg(q)),}$ دیده می شوند که تنها تعداد متناهی از آن ها ناصفرند، یه با طور معادل، دنباله ای که از جایی به بعد اعضای آن صفر هستند. در این حالت، ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )}$ و ${\displaystyle p_{i}=0}$ را به ترتیب به عنوان نمادهای جایگزین برای دنباله های ${\displaystyle a_{0}}$ و ${\displaystyle X}$ در نظر می گیرند. آنگاه با کمی دقت می توان فهمید که با این تعریف یک چندجمله ای چون:

${\displaystyle (a_{0},0,\cdots )}$

را می توان به این صورت نمایش داد:

${\displaystyle (0,1,0,\cdots )}$

• تبدیل فوریه گسسته
• الگوریتم
• چندجمله ای
• ضرب
• لیست پیوندی