عمل دوتایی

شاید تا به حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می‌دهند.

مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید «ب»، «آ» و دانش‌آموزان با هم فریاد می‌زنند «با». این بار معلم می‌گوید «ب»، «و» و این‌بار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند «بو» یا در مثالی دیگر در طبیعت مولکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد.

این‌ها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آن‌ها دو عنصر شرکت‌کننده عنصر سومی را پدید می‌آورند.

اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم‌ترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آن‌ها را بررسی می‌کنیم.

یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون ${\displaystyle *:G\times G\to G}$ از G×G به توی G که به هر عضو (a،b) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می‌دهد.

لازم به یادآوری است که G×G حاصل ضرب دکارتی G در خودش است.

با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:

• عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
• عمل دوتایی * یک تابع خوش تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو G×G عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
• حاصل ترکیب دو عضو (a،b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
• عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی G می‌شود، معمولاً با * یا ° نمایش می‌دهیم.

برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*،G) و برای هر (a،b) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب (a،b) را به صورت (a،b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می‌دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می‌نویسیم.

همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی. نشان می‌دهیم که نباید آن‌ها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد.

اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a،b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b یا ab نشان می‌دهیم.

• مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید، ضابطه عمل * را روی ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} :a*b=a+b}$

که همان عمل جمع اعداد صحیح است و به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.

• مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر، یک عمل دوتایی است:

${\displaystyle \forall n,m\in \mathbb {N} :n*m=n^{m}}$

اما عمل فوق در اعداد صحیح و اعداد گویا عمل دوتایی نمی‌باشد. زیرا به عنوان مثال

${\displaystyle (2)^{-1}={\frac {1}{2}}\not \in \mathbb {Z} }$

یا

${\displaystyle (2)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q} }$

«در مثالهای بالا به علت نداشتن شرط بسته بودن عمل دوتایی نیست»

ولی در مجموعه اعداد حقیقی عمل فوق، یک عمل دوتایی است.

• عمل * را در مجموعه دلخواه A به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle \forall a,b\in A:a*b=\left({\frac {a+b^{2}}{a-b}}\right)}$

عمل * که در بالا تعریف شده در مجموعه اعداد گویا یک عمل دوتایی نیست. چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود.

تعریف کلی :

اگر در یک مجموعه دو عضو a وb انتخاب کنیم و عمل مربوطه ( ضرب و جمع و تفریق و تقسیم ) را روی آن دو عضو انجام دهیم و حاصل در مجموعه مورد نظر ما وجود داشته باشد در اینصورت میگوییم دو عضو a و b نسبت به عمل مربوطه بسته است . توجه داشته باشید که لزومی ندارد عضوهای انتخابی متمایز باشند یعنی می‌توانند هر دو یکی باشند . به‌طور مثال در مجموعه {1,2} اگر عضو 1 را انتخاب کنیم می‌توانیم 1 را با 1 در نظر بگیریم ( هر دو عضو انتخابی یکی باشند) و بعد با هم جمع کنیم که حاصل برابر 2 است و در مجموعه مورد نظر وجود دارد اما اگر 2 و یک را در نظر بگیریم در اینصورت 2 +1 = 3 و داخل مجموعه وجود ندارد پس مجموعه فرض شده نسبت به عمل جمع بسته نیست . مجموعه {1و0و1-} نسبت به عمل جمع و ضرب بسته است. میبینید که باید حتماً دو تمام حالات را بررسی کنید چرا که در تعریف گفته شده دو عضو a و b، به این معنی است که هر عضوی می‌تواند باشد و نباید فقط از روی دو عدد در مورد بسته بودن مجموعه نسبت به اعمال اصلی قضاوت کنیم.

مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است.

حال مجموعه اعداد صحیح زوج ${\displaystyle \mathbb {Z} _{E}}$ که زیرمجموعه‌ای از ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج، عددی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است.

به عبارت برای هر ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} _{E}}$ داریم ${\displaystyle m+n\in \mathbb {Z} _{E}}$

در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است.

اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلاً مجموعه اعداد صحیح فرد ${\displaystyle \mathbb {Z} _{O}}$ را در نظر بگیرید. مجموع دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} _{O}}$ داریم ${\displaystyle a+b\not \in \mathbb {Z} _{O}}$ در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.

اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و E زیرمجموعه‌ای ناتهی از G باشد، می‌گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتی‌که به ازای هر a،b∈E داشته باشیم a*b∈E.

یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می‌تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد.

• گروه
• تابع
• حلقه
• رابطه

• دی. اس. مالک-جال. ان. مردسون-ام. ک. سن (۱۳۸۰)، اساس جبر مجرد، ترجمهٔ دکتر محمدرضا رجب‌زاده مقدم-سید محمد داورپناه، مشهد: دانشگاه امام رضا، شابک ۹۶۴-۶۵۸۲-۲۹-X
• دان ساراسینو (۱۳۸۱)، جبر مجرد، ترجمهٔ محمدرضا فلکی، مشهد: نشر اقلیدس، شابک ۹۶۴-۹۱۲۱۰-۹-۹
• اسرائیل ناتان هراشتاین (۱۳۸۱)، جبر مجرد، ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده، تهران: موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، شابک ۹۶۴-۶۳۷۹-۰۲-۸
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Binary operation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ اوت ۲۰۰۷.