کوچک‌ترین مضرب مشترک

فرض کنید ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ اعدادی صحیح و ناصفر باشند. در میان مضرب‌های مشترک مثبت ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ کوچکترین عدد را (که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد.) کوچکترین مضرب مشترک ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ می‌نامیم و آن را با ‍${\displaystyle [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$ نشان می‌دهیم.

اگر ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آن‌ها بر ${\displaystyle [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$ بخش‌پذیر است.

برهان: اگر ${\displaystyle k}$ مضرب مشترکی از ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند ${\displaystyle q}$ و ${\displaystyle r}$ وجود دارند که

(۱) ${\displaystyle k=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]q+r}$ و ${\displaystyle 0\leq r<[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$

از طرف دیگر ${\displaystyle a_{i}|[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$ و ${\displaystyle a_{i}|k}$ برای هر ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

بنابراین ${\displaystyle a_{i}|r}$

یعنی ${\displaystyle r}$ مضربی مشترک از ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ است. در نتیجه اگر ${\displaystyle r>0}$، آنگاه ${\displaystyle r\geq [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$، که با نابرابری سمت راست (۱) تناقض دارد بنابراین ${\displaystyle r=0}$ و ${\displaystyle k|[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$

برای محاسبه ک.م.م. می‌توان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک.م.م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک می‌شود. همچنین می‌توان ک.م.م. را به کمک ب.م.م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک.م.م. آنها است،[5] ک.م.م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ب.م. م آنهاست:

از آنجا که ب.م.م. دو عدد شمارنده هر دو است،[1][6][7] بهتر است اول تقسیم و سپاس ضرب کرد که بدین ترتیب ک.م.م. به این شکل تعریف خواهد شد:

• بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک