کسر

کسر متعارفی نوعی خاصی از کسر است که بنا بر تعریف، هم صورت و هم مخرج آن اعداد صحیح هستند (مخرج باید مخالف صفر باشد). به عنوان مثال، اعداد ${\displaystyle {\dfrac {4}{3}}}$ و ${\displaystyle {\dfrac {9}{6}}}$ کسر متعارفی هستند، ولی ${\displaystyle {\dfrac {4}{1.2}}}$ و ${\displaystyle 5/3/2/1}$ کسر متعارفی نمی‌باشند.

کسر متعارفی ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}}$ را در نظر بگیرید. اگر صورت از مخرج کسر بزرگتر باشد، یعنی داشته باشیم a>b، کسر از یک (واحد) بزرگتر است. در این صورت ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}}$ را کسر بزرگتر از واحد (Improper Fraction) می‌نامند. گاهی کسرهای بزرگتر از واحد را به صورت عدد مخلوط نشان می‌دهند.

برعکس، اگر در کسر ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}}$ صورت از مخرج کوچکتر باشد، یعنی a<b، کسر را کوچکتر از واحد (Proper Fraction) می‌نامند.

کسر اعشاری، یک کسر متعارفی است که مخرج آن ۱۰ یا توانی از ۱۰ است. اغلب برای نمایش کسرهای اعشاری از علامت ممیز (/) استفاده می‌شود. برای مثال کسر متعارفی ${\displaystyle {\dfrac {1}{10}}}$ را می‌توان به صورت ۰/۱ نشان داد. همچنین کسر ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}}$ را می‌توان با ضرب صورت و مخرج در مقدار ۵ به صورت ${\displaystyle {\dfrac {60}{100}}}$ یا ۰/۶۰ و حتی به طور خلاصه‌تر ۰/۶ نشان داد. کسرهای اعشاری را با نماد علمی نیز می‌توان نشان داد.

برای نمایش اعداد اعشاری که دارای بی‌نهایت رقم تکرار شونده اعشار هستند، از کسر متعارفی استفاده می‌شود. برای مثال کسر متعارفی ${\displaystyle {\dfrac {1}{3}}}$ بیانگر مقدار …۰/۳۳۳۳ است.

اگر مخرج کسر قابل تبدیل به ۱۰۰ باشد می‌توان اعداد را به صورت درصدی (Percentage) یا به صورت نماد ٪ نیز نشان داد. برای مثال کسر متعارفی ${\displaystyle {\dfrac {5}{100}}}$ همان مقدار ۵٪ است و ${\displaystyle {\dfrac {29}{100}}}$ مقدار ۲۹٪ را نشان می‌دهد.

اگر با تقسیم صورت بر مخرج، به باقی‌مانده صفر برسیم، کسر را مولد اعشار مختوم می‌نامند. این حالت در زمانی رخ می‌دهد که مخرج کسر فقط شامل عامل‌های ۲ یا ۵ یا هر دو باشد.

کسرهای وجود دارند که در آن‌ها حاصل تقسیم صورت بر مخرج، باقی‌مانده صفر نخواهند داشت. به این ترتیب عدد اعشاری حاصل، مختوم نخواهد بود. برای مثال کسرهایی نظیر ${\displaystyle {\dfrac {1}{3}}}$ و ${\displaystyle {\dfrac {1}{11}}}$ یک عدد اعشاری با مقدار اعشار متناوب ایجاد می‌کنند. ارقام تکرار شده در تناوب عدد اعشاری را دوره گردش می‌نامند. از آنجایی که مخرج این گونه کسرها دارای عامل‌های اول به غیر از ۲ و ۵ هستند، تقسیم صورت بر مخرج، باقی‌مانده صفر نخواهند داشت.

${\displaystyle {\dfrac {2}{3}}=0.666...}$ و ${\displaystyle {\dfrac {1}{11}}=0.090909...}$

در این گونه کسرها، با تجزیه مخرج به عوامل اول به ارقام ۲ یا ۵ و یک یا چند عدد اول دیگر می‌رسیم. در این صورت عدد اعشاری شامل دو قسمت تکراری با گردش و بدون گردش خواهد بود. برای مثال کسر ${\displaystyle {\dfrac {8}{15}}}$ از این گونه کسرها محسوب می‌شود، زیرا مخرج آن به عامل‌های ۵ و ۳ تجزیه می‌شود.

${\displaystyle {\dfrac {8}{15}}=0.5333...}$

معمولاً کسرهای متعارفی بزرگتر از ۱ را به صورت اعداد مخلوط نشان می‌دهند. در این حالت عدد مخلوط شامل یک قسمت عدد صحیح و یک کسر متعارفی کوچکتر از واحد است. قسمت عدد صحیح همان خارج قسمت تقسیم و صورت کسر، باقی‌مانده تقسیم و مخرج کسر متعارفی نیز مقسومٌ علیه خواهد بود.

${\displaystyle {\dfrac {36}{5}}=7{\dfrac {1}{5}}}$

اگر مخرج کسری صفر باشد، مانند ${\displaystyle {\dfrac {1}{0}}}$ آن کسر تعریف نشده است.

ابتدا به عدد مخرج یک می دهیم و سپس صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می شود. ${\displaystyle 2\times {\dfrac {9}{6}}={\dfrac {2}{1}}\times {\dfrac {9}{6}}={\dfrac {18}{6}}}$

این مورد دقیقاً شبیه ضرب عدد در کسر می باشد و ابتدا باید به عدد مخرج یک بدهیم و سپس در هم ضرب کنیم. ${\displaystyle {\dfrac {4}{5}}\times 2={\dfrac {4}{5}}\times {\dfrac {2}{1}}={\dfrac {8}{5}}}$

در این نوع ضرب صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می شوند. ${\displaystyle {\dfrac {5}{7}}\times {\dfrac {9}{5}}={\dfrac {5}{7}}\times {\dfrac {9}{5}}={\dfrac {45}{35}}}$

دقت کنید در کسر های که به صورت عدد مخلوط هستند، ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنید و سپس ضرب را انجام دهید. ${\displaystyle 4{\dfrac {2}{3}}\times 1{\dfrac {4}{5}}={\dfrac {14}{3}}\times {\dfrac {9}{5}}={\dfrac {126}{15}}}$

اگر مخرج همه کسرها با هم مشابه است، صورت تمام کسرها را با هم جمع می شوند. مخرج نیز همان مخرج یکسان کسرها میباشد.

${\displaystyle {\dfrac {1}{4}}+{\dfrac {2}{4}}={\dfrac {3}{4}}}$

دو مخرج (یا هر چند تا که هست) را در هم ضرب کرده تا مخرج مشترک به دست بیاید. اگر یکی از مخرج ها به بقیه مخرج ها بخش پذیر بود، کافی است آن مخرج به عنوان مخرج مشترک انتخاب شود. صورت ها متناسب با مخرج مشترک، بزرگ می شوند. در این حالت صورت کسرها با هم جمع می شوند.

${\displaystyle {\dfrac {1}{3}}+{\dfrac {3}{5}}={\dfrac {5}{15}}+{\dfrac {9}{15}}={\dfrac {14}{15}}}$