شبه گروه

یک شبه‌گروه (Q, ∗) مجموعه ای همچون Q است، با یک عمل باینری ∗، (یعنی یک ماگما)، و از ویژگی مربع لاتین تبعیت می‌کند . این بیان می‌کند که، برای هر a و b در Q، عناصر منحصر به فرد x و y در Q وجود دارد به طوری که هر دو

a ∗ x = b ,

y ∗ a = b

نگه می‌دارد. (به عبارت دیگر: هر عنصر مجموعه دقیقاً یک بار در هر سطر و دقیقاً یک بار در هر ستون جدول ضرب چهارگوش یا جدول کایلی اتفاق می افتد. این ویژگی تضمین می‌کند که جدول کایلی از یک شبه‌گروه محدود یک مربع لاتین است.) نیازمندی منحصر به فرد را می توان با نیازمندی‌ای جایگزین کرد که ماگما باشد و خاصیت لغو داشته‌باشد. [2]

راه‌حل‌های منحصر به فرد برای این معادلات x = a \ b و y = b / a عنوان شده. عملیات "\" و "/" به ترتیب تقسیم چپ و راست خوانده می شوند .

مجموعه خالی مجهز به عملکرد دودویی خالی این تعریف از شبه‌گروه را برآورده می کند. برخی از نویسندگان گروه شبه‌گروه خالی را می پذیرند اما برخی دیگر صریحاً آن را رد می کنند. [3] [4]

با توجه به برخی از ساختارهای جبری ، یک همانی معادله ای است که در آن کلیه متغیرها بطور ضمنی در سطح جهانی قرار می گیرند ، و در آن کلیه عملیات ها از جمله اقدامات ابتدایی متناسب با ساختار هستند. ساختارهای جبری صرفاً با هویت‌ها اکسیوماتیزه می شوند و انواع مختلفی نامیده می شوند. بسیاری از نتایج استاندارد در جبر جهانی فقط مربوط به انواع است. شبه‌گروه‌ها وریتی است اگر تقسیمات چپ و راست به عنوان عملیات ابتدایی در نظر گرفته شود.

یک شبه‌گروه (Q, ∗, \, /) نوعی جبر (2،2،2) است (یعنی مجهز به سه عملیات دودویی) که هویت‌های زیر را راضی می کند:

y = x ∗ (x \ y)،

y = x \ (x ∗ y) ,

y = (y / x) ∗ x ,

y = (y ∗ x) / x.

به عبارت دیگر: ضرب و تقسیم به هر ترتیب، یکی پس از دیگری، در یک طرف توسط همان عنصر، اثر خالص ندارند.

از این رو اگر (Q, ∗) طبق تعریف اول ، یک شبه‌گروه باشد ، آن‌گاه (Q, ∗, \, /) همان شبه‌گروه است به معنای جبر جهانی.

ساختارهای جبری بین ماگماها و گروه‌ها.

یک طوقه یک شبه‌گروه است با یک عضو همانی مانند e بهطوری که

x ∗ e = x و e ∗ x = x برای همه x در Q.

از این‌رو نتیجه می‌گیریم که عنصر همانی ، e ، منحصر به فرد است ، و هر عنصر از Q وارونه‌های منحصر به فرد چپ و راست دارد (که لازم نیست یکسان باشند). از آنجا که حضور یک عنصر همانی ضروری است ، یک حلقه نمی‌تواند خالی باشد.

یک شبه‌گروه با یک عنصر تکرارشونده پیک(pique)(مخفف "pointed idempotent quasigroup") نامیده می شود. این یک مفهوم ضعیف تر از یک حلقه است اما با این وجود متداول است زیرا ، به عنوان مثال ، با توجه به یک گروه آبلی ، (A, +) ، با انجام عمل تفریق خود به عنوان ضرب شبه‌گروه ، پیک (A, −) با هویت گروه (صفر) می چرخاند. به یک "pointed idempoten" اشاره کرد. (یعنی ایزوتوپی اصلی (x, y, z) ↦ (x, −y, z) . )

حلقه ای که به صورت گروهی باشد، گروهی است. یک گروه می تواند یک ایزوتوپ پیک غیر انجمنی داشته باشد، اما نمی‌تواند یک ایزوتوپ حلقه غیر اجتماعی داشته باشد.

خواص ارتباط ضعیف تری وجود دارد که به آن ها اسامی خاصی داده شده است.

به عنوان مثال، یک حلقه Bol یک حلقه است که هم راضی می‌کند:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ z الگو:Quad برای هر x , y و z در Q (یک حلقه بول سمت چپ)،

یا یه چیز دیگه

((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x) الگو:Quad برای هر x , y و z در Q (یک حلقه Bol مناسب).

ک حلقه که هم حلقه بول سمت چپ و هم راست است یک حلقه موفانگ است . این معادل با هرکدام از هویت های موفنگ مجرد زیر برای همه x ، y ، z است :

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z ,

z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x ,

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x)، یا

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x.

اگر همانی معادل زیر وجود داشته باشد ، یک شبه‌گروه متقارن است:

xy = y / x،

yx = x \ y،

x = (yx) y،

x = y (xy).

اگر چه ممکن است این آموزش به نظر می رسد خاص، هر شبه‌گروه Q باعث که شبه‌گروه متقارن Q Δ بر روی محصول مستقیم مکعب Q ³ از طریق عملیات زیر:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},y_{1}\backslash x_{3},x_{1}y_{2})=(x_{2}//y_{3},x_{3}\backslash \backslash y_{1},x_{1}y_{2}),}$

که در آن "//%22 و "\\" عملیات تقسیم مزدوج هستند که توسط آنها داده شده‌است ${\displaystyle y//x=x/y}$ و ${\displaystyle y\backslash \backslash x=x\backslash y}$ .

کلاس باریک که یک شبه‌گروه کاملاً متقارن است (گاهی اوقات به اختصار TS-quasigroup ) که در آن همه ترکیبات هم‌زمان با یک عمل هم‌زمان می شوند: xy = x / y = x \ y . روش دیگر برای تعریف (همان مفهوم) شبه‌گروه کاملاً متقارن به عنوان یک کوآیگرمی نیمه‌متقارن است که همچنین قابل تبادل است ، یعنی xy = yx .

شبه گروه های متقارن کل Idempotent دقیقاً (به عنوان مثال در یک زندگی با) سه برابر اشتاینر است ، بنابراین چنین شبه‌گروه‌ای شبه‌گروه اشتاینر نیز نامیده می شود ، و گاهی اوقات حتی به صورت مختصر با مخلوط اسکواپ نیز شناخته می شود . اصطلاح sloop به طور مشابه برای یک شبه‌گروه اشتاینر نیز تعریف شده است. بدون idempotency ، شبه گروههای متقارن کل مطابق با مفهوم هندسی سه گانه گسترش یافته اشتاینر ، همچنین به نام منحنی کربن بیضوی کلیت (GECC) نامیده می شوند.

شبه‌گروه (Q, ∗) کاملاً ضد متقارن نامیده می شود ، اگر برای همه c, x, y ∈ Q ، هر دو پیامد زیر وجود داشته باشد: [5]

1. (c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x دلالت بر x = y دارد
2. x ∗ y = y ∗ x دلالت دارد که x = y.

اگر فقط اولین پیامد داشته باشد، کاملاً ضد متقارن نامیده می‌شود.[6]

این ویژگی ضروری است. به عنوان مثال در الگوریتم Damm.

تعریف شبه‌گروه را می‌توان به عنوان شرایط در عملگرهای ضرب در چپ و راست L(x), R(y): Q → Q ، تعریف شده توسط

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)y&=xy\\R(x)y&=yx\\\end{aligned}}}$

تعریف می‌گوید که هر دو نگاشت میباشد bijections از Q را به خود. ماگما Q دقیقاً زمانی که تمام این اپراتورها برای هر X در Q از لحاظ زیست شناختی یک شبه‌گروه هستند. نگاشت‌های معکوس تقسیمات چپ و راست است ،

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)^{-1}y&=x\backslash y\\R(x)^{-1}y&=y/x\end{aligned}}}$

در این فرمول ، همانی در بین عملیات ضرب و تقسیم کوآسیگروپ (بیان شده در بخش جبر جهانی ) است.

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}}$

که در آن ۱ نقشه‌برداری هویت را در Q نشان می‌دهد.

جدول ضرب یک شبه‌گروه محدود یک مربع لاتین است: یک جدول n × n که پر از n علامت های مختلف است به گونه ای که هر نماد دقیقاً یک بار در هر سطر و دقیقاً یک بار در هر ستون رخ می دهد.

برعکس هر مربع لاتین را می توان به عنوان جدول ضرب یک شبه‌گروه در بسیاری از زمینه‌ها: مرز ردیف (شامل ستون) و مرز ستون (شامل ردیف سرصفحه) میتواند هر جایگشت از عناصر. دیدن کوچک مربع لاتین و شبه‌گروه.

هر عنصر حلقه دارای یک معکوس منحصر به فرد چپ و راست است که توسط آن داده شده است

${\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}$

${\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}$

گفته می‌شود که اگر یک حلقه وارون (دو طرفه) داشته باشد ${\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }}$ برای همه x در این حالت عنصر معکوس معمولاً توسط ${\displaystyle x^{-1}}$ .

چندین مفهوم قوی تر از معکوس در حلقه‌ها وجود دارد که اغلب مفید هستند:

• اگر یک حلقه دارای ویژگی معکوس سمت چپ باشد در صورت وجود ${\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y}$ برای همه ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ . هم ارز، ${\displaystyle L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })}$ یا ${\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y}$ .
• اگر یک حلقه دارای خاصیت معکوس مناسب باشد در صورت وجود ${\displaystyle (yx)x^{\rho }=y}$ برای همه ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ . هم ارز، ${\displaystyle R(x)^{-1}=R(x^{\rho })}$ یا ${\displaystyle y/x=yx^{\rho }}$ .
• اگر یک حلقه خاصیت معکوس ضد اتومورفیک داشته باشد در صورت وجود ${\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }}$ یا ، به طور معادل ، اگر ${\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }}$ .
• وقتی یک حلقه خاصیت معکوس ضعیف را دارد ${\displaystyle (xy)z=e}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle x(yz)=e}$ . این ممکن است از نظر وارونگی از طریق بیان شده باشد ${\displaystyle (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }}$ یا معادل آن ${\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }}$ .

یک حلقه دارای خاصیت معکوس اگر آن را تا هر دو سمت چپ و خواص معکوس است. حلقه های خاصیت معکوس همچنین دارای خواص معکوس ضد اتمورفیک و ضعیف هستند. در حقیقت ، هر حلقه ای که از هر چهار هویت فوق را برآورده کند ، خاصیت معکوس را دارد و بنابراین هر چهار را برآورده می کند.

هر حلقه ای که خصوصیات معکوس چپ ، راست یا ضد اتمورفیک را برآورده کند ، بطور خودکار وارونه ای دو طرفه دارد.

بگذارید Q و P شبه گروه باشند. یک شبه گروه هموتوپ از Q به P یک نقشه سه گانه (α, β, γ) از Q به P است به گونه ای که

${\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}$

برای همه x ، y در Q. یک شبه گروه همومورفیسم فقط یک هوموتوپی است که سه نقشه برای آن برابر است.

Isotopy برای هموتوپی که هر یک از سه نقشه (α, β, γ) یک است پوشا و یک به یک . اگر یک ایزوتوپی بین آنها وجود داشته باشد ، دو کوسیگروپ ایزوتوپی هستند. از نظر مربع های لاتین ، یک ایزوتوپی (α, β, γ) توسط یک ترکیب از ردیف α ، یک مجرا از ستون ها β ، و جایگشتی بر روی عنصر زیر مجموعه γ ، داده می شود.

اتوتوپی نوعی ایزوتوپی است که از یک گروه چهار نفری به خود گرفته می‌شود. مجموعه ای از تمام autotopies از که quasigroup یک گروه با تشکیل گروه automorphism به عنوان یک زیر گروه.

هر کواریگروپ از نظر حلقه ایزوتوپی است. اگر یک حلقه برای یک گروه ایزوتوپی باشد، برای آن گروه از نظر هم همورفیک است و بنابراین خود یک گروه است. با این حال، یک گروه چهار نفری که برای یک گروه ایزوتوپی است، نیازی به گروه نیست. به عنوان مثال، کواسیگروپ در R با ضرب داده شده توسط (x + y)/2 برای گروه افزودنی (R, +) ایزوتوپیک است، اما خود گروهی نیست. هر داخلی quasigroup ایزوتوپی به است گروه آبلی توسط قضیه براک-تویودا.

تقسیم چپ و راست نمونه‌هایی از تشکیل یک گروه چهار نفری با مجاز کردن متغیرها در معادله تعریف است. از عملیات اصلی ∗ (یعنی x ∗ y = z) می‌توانیم پنج عملیات جدید تشکیل دهیم: x o y := y ∗ x (عملیات مخالف)، / و \، و مخالف آنها. این باعث می‌شود در مجموع شش عملیات شبه گروهی، که به آن ترکیبات یا parparrophes ∗ می گویند. گفته می‌شود که هر دو مورد از این عملیات «مزدوج» یا «پاراستروفیک» با یکدیگر (و خودشان) هستند.

اگر مجموعه Q دارای دو عملکرد کوسیگروپ، ∗ و · باشد و یکی از آنها به یک مخلوط دیگر ایزوتوپیک باشد، گفته می‌شود که این عملیات برای همدیگر ایزوستروفیک است. نامهای دیگری نیز برای این رابطه «ایزوستروفی» وجود دارد، به عنوان مثال، پاراتوپی.

n - ary quasigroup مجموعه ای با عمل <i id="mwAiE">n</i> -ary است، (Q, f) با f: Qⁿ → Q، به گونه ای که معادله f(x₁,... ,x_n) = y یک راه حل منحصر به فرد دارد برای هر متغیر اگر همه متغیرهای n دیگر به‌طور دلخواه مشخص شوند. چند پولی یا چند متغیره به معنای n -ary برای تعدادی عدد صحیح غیرعادی n است.

یک گروه شبه صفر یا اصولی، فقط یک عنصر ثابت Q است. یک گروه چهار نفری یا غیرقابل انکار یک تجرب of Q برای خودش است. گروه کوئری باینری یا دوتایی، یک گروه چهار قلو معمولی است.

یک مثال از که quasigroup multiary یک عملیات گروه تکرار، y = x₁ · x₂ · ··· · x_n است. لازم نیست از پرانتز برای مشخص کردن ترتیب عملیات استفاده کنید زیرا این گروه ارتباطی است. در صورت مشخص بودن ترتیب عملیات، می‌توان با انجام هر دنباله ای از همان گروه یا عملیات گروهی مشابه یا گروه‌های چهارگانه، یک گروه چهار قلو تشکیل داد.

گروه‌های چند طبقه ای وجود دارند که به هیچ وجه نمی‌توانند نمایان شوند. quasigroup N -ary غیرقابل تقلیل است اگر عملکرد آن را به ترکیب از دو عملیات در راه‌های زیر نمی‌توان عامل:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),}$

جایی که 1 ≤ i < j ≤ n و (i, j) ≠ (1, n). quasigroups غیرقابل تقلیل N -ary محدود برای تمام n> 2 وجود دارد؛ برای جزئیات بیشتر به آکیویس و گلدبرگ (۲۰۰۱) مراجعه کنید.

یک شبه گروه nتایی با نسخه N -ary از associativity یک نام گروه n تایی.

یک شبه گروه راست (Q, ∗, /) نوعی جبر (۲٬۲) است که هر دو هویت را راضی می‌کند: y = (y / x) ∗ x ; y = (y ∗ x) / x.

به‌طور مشابه، شبه گروه چپ (Q, ∗, \) نوعی جبر (۲٬۲) است که هر دو هویت را راضی می‌کند: y = x ∗ (x \ y). y = x \ (x ∗ y).