هم‌ریختی

یک هم‌ریختی، نگاشتی بین دو ساختار جبری از یک سنخ می‌باشد که عملیات ساختارها را حفظ می‌کند؛ یعنی نگاشتی چون ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ بین دو مجموعه ${\displaystyle A,B}$ که هردو به یک ساختار و در نتیجه به یک عملگر مجهز باشند، چنان‌که اگر ${\displaystyle \cdot }$ عملی روی این ساختار باشد (در اینجا برای ساده‌سازی فرض می‌کنیم که عملگر مد نظر یک عملگر دوتاییست)، آنگاه برای هر ${\displaystyle x,y}$ در ${\displaystyle A}$[یادداشت 1] داریم:

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

می‌گویند ${\displaystyle f}$ عملیات را حفظ می‌کند یا با آن سازگاری دارد.

به‌طور صوری، نگاشتی چون ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ یک عملیات ${\displaystyle k}$-تایی چون ${\displaystyle \mu }$ را که بر روی هردوی ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ تعریف شده‌است، حافظ ساختار است اگر برای تمام ${\displaystyle x,y}$ در ${\displaystyle A}$ داشته باشیم:

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

عملیاتی که باید تحت هم‌ریختی‌ها حفظ شوند شامل عملیات ۰-تایی، یعنی ثوابت نیز می‌شود. زمانی که ساختارهای مذکور عنصر همانی داشته باشند، عنصر همانی دامنه باید به عنصر همانی متناظر با آن در هم‌دامنه نگاشته شود.

به عنوان مثال:

• یک هم‌ریختی نیم‌گروهی نگاشتی بین نیم‌گروه‌هاست که عمل نیم‌گروه را حفظ می‌کند.
• یک هم‌ریختی مونوئیدی نگاشتی بین مونوئیدهاست که عمل مونوئید را حفظ کرده و عنصر همانی مونوئید اول را به عمل دوتایی مونوئید دومو می‌نگارد (درینجا عنصر همانی عمل ۰-تاییست).
• یک هم‌ریختی گروهی، نگاشتی بین گروه‌هاست که عمل گروهی را حفظ می‌کند. این هم‌ریختی منجر به این می‌شود که عنصر همانی گروه اول به عنصر همانی گروه دوم نگاشته شده و عنصر معکوس یک عضو از گروه اول به معکوس تصویر آن عضو نگاشته می‌شود؛ لذا هم‌ریختی نیم‌گروهی بین گروه‌ها لزوماً یک هم‌ریختی گروهیست.
• یک هم‌ریختی حلقه ای نگاشتی بین حلقه‌هاست که جمع حلقه ای، ضرب حلقه ای و عنصر همانی ضربی حلقه را حفظ می‌کند. این که آیا همانی ضربی حفظ می‌شود بستگی به تعریف حلقه مورد استفاده دارد. اگر همانی ضربی حفظ نشود، به تعریف هم‌ریختی رانگ rng می‌رسیم.
• نگاشت خطی هم‌ریختی ای از فضاهای برداریست؛ یعنی هم‌ریختی گروهی بین فضاهای برداری که ساختار گروه آبلی و ضرب اسکالر را حفظ می‌کند.
• یک هم‌ریختی مدولی که به آن نگاشت خطی بین مدول‌ها نیز گفته می‌شود به‌طور مشابه تعریف می‌شود.
• یک هم‌ریختی جبری نگاشتی است که عملیات جبری را حفظ می‌کند.

ممکن است یک ساختار جبری بیش از یک عمل داشته باشد و برای حفظ هر کدام از آن عمل‌ها نیاز به یک هم‌ریختیست؛ لذا نگاشتی که فقط برخی از آن عمل‌ها را حفظ کند هم‌ریختی ساخار نیست، بلکه صرفاً هم ریختی آن ساختار تحت عمل‌های حفظ شده می‌باشد. به عنوان مثال، نگاشتی بین مونوئیدها که عمل مونوئید را حفظ کرده اما عنصر همانی را حفظ نکند یک هم‌ریختی مونوئیدی نیست، بلکه صرفاً یک هم‌ریختی نیم‌گروهیست.

هم‌ریختی مونوئیدی ${\displaystyle f}$ از مونوئید ${\displaystyle \color {green}(\mathbf {N} ,+,\,0)}$ به مونوئید ${\displaystyle \color {red}(\mathbf {N} ,\times ,0)}$ که به صورت ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$ تعریف شده‌است. این هم‌ریختی یک به یک است اما پوشا نیست.

اعداد حقیقی تشکیل یک حلقه می‌دهند که در آن هم عمل جمع وجود دارد و هم عمل ضرب. مجموعه تمام ماتریس‌های ${\displaystyle 2\times 2}$ نیز تحت اعمال جمع و ضرب ماتریسی تشکیل یک حلقه می‌دهند. اگر ما تابعی بین این دو حلقه (اعداد حقیقی و ماتریس‌های ${\displaystyle 2\times 2}$) به صورت زیر تعریف کنیم:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

که در آن ${\displaystyle r}$ یک عدد حقیقیست، آنگاه ${\displaystyle f}$ هم‌ریختی بین حلقه‌ها خواهد بود، چرا که ${\displaystyle f}$ هم جمع را حفظ می‌کند:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

هم ضرب را:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

به عنوان مثالی دیگر، اعداد مختلط ناصفر را در نظر بگیرید، این اعداد مانند اعداد حقیقی ناصفر تحت عمل ضرب تشکیل یک گروه می‌دهند (صفر از هردوی این گروه‌ها باید حذف شود چرا که معکوس ضربی ندارد، که از شرایط ضروری گروه‌هاست). تابعی مثل ${\displaystyle f}$ از اعداد مختلط ناصفر به اعداد حقیقی ناصفر به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

یعنی ${\displaystyle f(z)}$ قدرمطلق عدد مختلط ${\displaystyle z}$ است. آنگاه ${\displaystyle f}$ هم‌ریختی گروه‌هاست، چرا که ضرب را حفظ می‌کند:

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$

توجه کنید که ${\displaystyle f}$ را نمی‌توان به هم‌ریختی حلقه ای بسط داد (هم‌ریختی حلقه ای از اعداد مختلط به اعداد حقیقی)، چرا که جمع را حفظ نمی‌کند:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

به عنوان مثالی دیگر، درون تصویر نمودار هم‌ریختی ${\displaystyle f}$ی از مونوئید ${\displaystyle (\mathbf {N} ,+,\,0)}$ به ${\displaystyle (\mathbf {N} ,\times ,0)}$ نشان داده شده. به علت مختلف بودن اعمال دوتایی این دو ساختار، خاصیت هم‌ریختی ${\displaystyle f}$ به صورت ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$ نشان داده می‌شود و داریم ${\displaystyle f(0)=1}$.

یک جبر ترکیبیاتی ${\displaystyle A}$ روی میدان ${\displaystyle F}$ که به فرم مربعی باشد را نرم نامیده که به صورت ${\displaystyle N\colon A\rightarrow F}$ است و یک هم‌ریختی گروهی از گروه ضربی ${\displaystyle A}$ به گروه ضربی ${\displaystyle F}$ می‌باشد.

هر هم‌ریختی ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ یک رابطه هم‌ارزی ${\displaystyle \sim }$ را روی ${\displaystyle X}$ بدین صورت تعریف می‌کند که ${\displaystyle a\sim b}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. رابطه ${\displaystyle \sim }$ را هسته‌ی ${\displaystyle f}$ گویند. این رابطه، یک رابطه هم‌ارزی روی ${\displaystyle X}$ است. مجموعه خارج قسمتی ${\displaystyle X/\sim }$ را می‌توان به گونه ای طبیعی، با تعریف عملیات بین دسته‌های هم‌ارزی ${\displaystyle [x]*[y]=[x*y]}$ مجهز به همان ساختار کرد. درین صورت، تصویر ${\displaystyle X}$ در ${\displaystyle Y}$ تحت هم‌ریختی ${\displaystyle f}$ لزوماً یک‌ریخت با ${\displaystyle X/\sim }$ می‌باشد، حقیقت اخیر یکی از قضایای یک ریختیست. زمانی که ساختار جبری مد نظر برای برخی از عمل‌ها گروه باشد، کلاس هم‌ارزی ${\displaystyle K}$ مربوط به عنصر همانی این عمل برای تعیین و مشخصه سازی رابطه کافیست. در این صورت، خارج قسمت رابطه هم‌ارزی به صورت ${\displaystyle X/K}$ نمایش داده می‌شود (به صورت "${\displaystyle X}$ به هنگ ${\displaystyle K}$" یا "${\displaystyle X}$ به پیمانه ${\displaystyle K}$" خوانده می‌شود). همچنین در این صورت، بیشتر به ${\displaystyle K}$ هسته ${\displaystyle f}$ می‌گویند تا ${\displaystyle \sim }$. هسته‌های هم‌ریختی از نوع یک ساختار جبری داده شده، طبیعتاً خود مجهز به ساختاریست. این ساختارِ مربوط به هسته، هم سنخ با ساختار جبری است که بر روی آن کار می‌کنیم (صورت و مخرج‌های کسر)، مثلاً اگر صورت و مخرج کسر از نوع گروه آبلی، فضای برداری یا مدول باشد خارج قسمت ما نیز از همین نوع است، اما به خاطر ویژگی‌های خاصی که دارد معمولاً اگر هسته یک هم‌ریختی گروهی باشد به آن زیر گروه نرمال و اگر هسته هم‌ریختی حلقه ای باشد بدان ایده‌آل گویند (در مورد حلقه‌های ناجابجایی، هسته‌ها ایده‌آل‌های دوسویه هستند).

چندین نوع از هم‌ریختی‌ها برای خود نام‌های خاصی دارند، که تعمیمشان به ریخت‌های نظریه رسته‌ها نیز از همین نام‌ها بهره می‌برند.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Homomorphism». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ سپتامبر ۲۰۱۹.