ایده‌آل (نظریه حلقه‌ها)

ایده‌آل‌ها اولین بار توسط ریچارد ددکیند در ۱۸۷۶ میلادی در ویرایش سوم کتابش با عنوان Vorlesungen über Zahlentheorie (رساله هایی در مورد نظریه اعداد) ارائه شدند. آن‌ها تعمیم مفهوم اعداد ایده‌آل بودند که توسط ارنست کومر توسعه یافته بودند.[1][2] سپس این مفهوم توسط دیوید هیلبرت و بخصوص امی نوتر گسترش یافتند.

برای یک حلقه دلخواه چون ${\displaystyle (R,+,.)}$، ${\displaystyle (R,+,.)}$ را مجگروه جمعی آن در نظر بگیرید. زیرمجموعه ای چون ${\displaystyle I}$ را ایده‌آل چپ حلقه ${\displaystyle R}$ گویند اگر زیرمجموعه‌ای جمعی از ${\displaystyle R}$ باشد که "ضرب عناصر ${\displaystyle R}$ را از سمت چپ جذب کند"، یعنی ${\displaystyle I}$ یک ایده‌آل چپ است اگر دو شرط زیر را ارضاء کند:

1. ${\displaystyle (I,+)}$ یک زیرگروه از ${\displaystyle (R,+)}$ باشد،
2. برای هر ${\displaystyle r\in R}$ و هر ${\displaystyle x\in I}$، ضرب ${\displaystyle rx}$ در ${\displaystyle I}$ باشد.

یک ایده‌آل راست با جایگزینی شرط "${\displaystyle rx\in I}$" با "${\displaystyle xr\in I}$" تعریف می شود. یک ایده‌آل دوسویه ایده‌آل چپی است که هم‌زمان یک ایده‌آل راست هم باشد. برخی مواقع به ایده‌آل دو سویه صرفاً "ایده‌آل" گویند.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ideal (Ring Theory)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۷ آگوست ۲۰۱۹.