عدد گویا

عدد گویا[1] (به انگلیسی: Rational number) در علم ریاضیات، عددی است، که می‌تواند به صورت کسر $p / q$ از دو عدد صحیح ( $p$ صورت کسر و $q$ مخرج کسر بیان شود.[2] به عبارت دیگر اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح به جز صفر پدید آمده باشد مثلاً عدد صحیح زیر رادیکال نباشد.[3] از آن‌جایی که $q$ می‌تواند برابر با عدد یک باشد، پس تمامی اعداد صحیح، عدد گویا نیز هستند. مجموعه تمام اعداد گویا معمولاً با حرف $Q$ (یا علامت $\mathbb {Q}$ ) نمایش داده می‌شود که به انتخابِ جوزپه پئانو از ابتدای کلمهٔ ایتالیاییِ quoziente، به‌معنای خارج‌قسمت، اخذ شده‌است.[4]

اعداد گویا (Q) زیرمجموعهٔ اعداد حقیقی (R) هستند. از سوی دیگر؛ آن‌ها اعداد صحیح (ℤ) را زیر مجموعهٔ خود دارند، که آن‌هم به‌نوبهٔ خود اعداد طبیعی (ℕ) را زیر مجموعهٔ خود دارد.

تمامی اعداد حقیقی که گویا نباشند، گنگ هستند. به عنوان نمونه، نسبت ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ کسر هست، اما یک عدد گنگ است. به‌طور کلی می‌توان اعداد گویا را بدین صورت تعریف کرد: $\{{\frac {x}{y}}\mid x\in \mathbb {Z} ,y\in \mathbb {Z} ,y\neq 0\}$

اعداد صحیح، طبیعی و اعداد حسابی همه زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند زیرا مخرج تمامی اعداد طبیعی یک است و علامت آن‌ها مثبت در نتیجه همهٔ آنان کسر هستند. اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد زیرا هر عدد اعشاری را می‌توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توان‌های مثبت ۱۰ و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود. اعداد گویا حاصل تقسیم دو عدد (تقسیم یک عدد صحیح بر یک عدد صحیح[5]) هستند. بین دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت ادامه دارند. همچنین بین دو عدد گنگ بی شمار عدد گنگ وجود دارد.

مقایسه

برای مقایسه اعداد گویای مثبت، پس از هم مخرج کردن، صورت‌هایشان مورد مقایسه قرار می‌گیرد؛ هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و مخرج هر یک از اعداد گویا در مخرج دیگری ضرب می‌شود.

نکته: بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر باشد، از عدد دیگر بزرگتر است.

برای مقایسه دو عدد گویای ${\frac {a}{b}}$ و ${\frac {c}{d}}$ به‌صورت زیر مخرج‌ها یکی می‌شوند:

${\frac {a}{b}}={\frac {a\times d}{b\times d}},{\frac {c}{d}}={\frac {c\times b}{d\times b}}$

سپس صورت دو کسر به‌دست‌آمده مورد مقایسه قرار می‌گیرند: $a\times d\;?\;c\times b$

مثال

دو عدد ${\frac {5}{11}}$ و ${\frac {3}{7}}$ به‌صورت زیر مقایسه می‌شوند:

${\frac {3}{7}}={\frac {3\times 11}{7\times 11}}={\frac {33}{77}}\;,\;{\frac {5}{11}}={\frac {5\times 7}{11\times 7}}={\frac {35}{77}}\Rightarrow 33<35\Rightarrow {\frac {3}{7}}<{\frac {5}{11}}$

اعمال اصلی ریاضی

جمع و تفریق

برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها یکسان شده، سپس صورت‌ها با هم جمع یا تفریق می‌شوند:

${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}$

مثال

${\frac {4}{3}}+{\frac {2}{5}}={\frac {20+6}{15}}={\frac {26}{15}}$

${\frac {5}{6}}-{\frac {5}{4}}={\frac {20-30}{24}}={\frac {-10}{24}}$

ضرب

برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند.

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

مثال

{\frac {2}{5}}\cdot {\frac {14}{35}}={\frac {2\times 14}{5\times 35}}={\frac {28}{175}}

تقسیم

برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌شود.

${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}.{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

مثال

${\frac {5}{7}}\div {\frac {3}{5}}={\frac {5}{7}}\cdot {\frac {5}{3}}={\frac {5\times 5}{7\times 3}}={\frac {25}{21}}$

جستارهای وابسته

طبقه‌بندی اعداد

مختلط

{\displaystyle

حقیقی

{\displaystyle

گویا

{\displaystyle

صحیح

{\displaystyle

طبیعی

{\displaystyle

یک: 1

صفر: 0

مختوم

ساده

مرکب

منابع

«عدد گویا» [ریاضی] هم‌ارزِ «rational number»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر ششم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ عدد گویا)
Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
Rouse, Margaret. "Mathematical Symbols". Retrieved 1 April 2015.
chap.sch.ir صفحهٔ ۸.

Wikipedia contributors, "Rational number," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rational_number&oldid=206998939

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] «عدد گویا» [ریاضی] هم‌ارزِ «rational number»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر ششم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ عدد گویا)

[Rosen2-2] Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[Rosen-3] Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[4] Rouse, Margaret. "Mathematical Symbols". Retrieved 1 April 2015.

[5] .sch.ir صفحهٔ ۸.

نظریه اعداد
میدان‌ها	نظریه جبری اعداد نظریه تحلیلی اعداد نظریه هندسی اعداد نظریه اعداد رایانشی Transcendental number theory Diophantine geometry Arithmetic combinatorics Arithmetic geometry Arithmetic topology Arithmetic dynamics
مفاهیم کلیدی	عددs عدد طبیعیs عدد اولs عدد گویاs عدد گنگs عدد جبریs اعداد متعالیs عدد پی-ادیکs حساب هم‌نهشتی (نظریه اعداد) تابع حسابیs
مفاهیم پیشرفته	فرم درجه دومs Modular forms تابع الs معادله سیالهs Diophantine approximation کسر مسلسلs
List of topics List of recreational topics Wikibook Wikversity

دستگاه اعداد
مجموعه‌های شمارا	اعداد طبیعی( $\mathbb {N}$ ) اعداد صحیح( $\mathbb {Z}$ ) اعداد گویا( $\mathbb {Q}$ ) اعداد ترسیم پذیر اعداد جبری( $\mathbb {A}$ ) دوره (نظریه اعداد) Computable number Definable real number Arithmetical numbers Gaussian integer
جبرهای ترکیبی	جبر تقسیم: اعداد حقیقی( $\mathbb {R}$ ) اعداد مختلط( $\mathbb {C}$ ) چهارگان‌ها( $\mathbb {H}$ ) هشتگان‌ها( $\mathbb {O}$ )
انواع دوقسمتی	over $\mathbb {R}$ : Split-complex number Split-quaternion Split-octonion روی $\mathbb {C}$ : Bicomplex number Biquaternion Bioctonion
اعداد ابرمختلط دیگر	Dual number Dual quaternion Dual-complex number Hyperbolic quaternion شانزدهگان‌ها ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternion Multicomplex number Geometric algebra Algebra of physical space Spacetime algebra
انواع دیگر	اعداد اصلی اعداد گنگ اعداد فازی اعداد ابرحقیقی Levi-Civita field Surreal numbers اعداد متعالی اعداد ترتیبی عدد پی-ادیک (p-adic solenoids) Supernatural numbers Superreal numbers
عدد List