نظریه تحلیلی اعداد

در ریاضیات، نظریه تحلیلی اعداد (به انگلیسی: Analytic Number Theory) شاخه ای از ریاضیات است که از روش های آنالیز ریاضی برای حل مسائل مربوط به اعداد صحیح بهره می برد.[1] اغلب گفته می شود که این شاخه با کار های پیتر گوستاو لژیونه دیریکله در ۱۸۳۷ و با معرفی L-توابع دیریکله شروع شده است. او از این توابع برای ارائه اولین اثبات قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی سود جست.[2][3] معروف ترین نتیجه در این شاخه، نتایج و بحث هایی است که در ارتباط با اعداد اول (مثل قضیه اعداد اول و تابع زتای ریمان) و نظریه جمعی اعداد (مثل حدس گلدباخ و مسئله وارینگ) مطرح شده اند.

تابع زتای ریمان در صفحه مختلط. رنگ نقطه s، نشانگر مقدار است: رنگ های نزدیک به سیاه نشانگر مقادیر نزدیک به صفر اند، در حالی که فام نشانگر آرگومان مقدار مورد نظر است.

شاخه های نظریه تحلیلی اعداد

نظریه تحلیلی اعداد را می توان به دو بخش عمده تقسیم بندی کرد که این تقسیم بندی بر اساس سرشت مسائلی هست که هر بخش با آن درگیر است و فنونی که در هر بخش استفاده می شود با دیگری لزوماً تفاوت بنیادینی ندارند:

  • نظریه ضربی اعداد با توزیع اعداد اول سروکار دارد، مثل تخمین تعداد اعداد اول موجود در یک بازه خاص. مباحثی مثل قضیه اعداد اول و قضیه دیریکله روی اعداد اول یک دنباله حسابی در این دسته قرار می گیرند.
  • نظریه جمعی اعداد که دغدغه فهم ساختار جمعی اعداد صحیح را دارد. مباحثی چون حدس گلدباخ که می گوید هر عدد زوج بزرگتر از ۲ را می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت در این قسمت قرار می گیرند. یکی از نتایج اصلی نظریه جمعی اعداد مسئله وارینگ است.

پانویس
  1. Apostol 1976, p. ۷.
  2. Apostol 1976, p. 7.
  3. Davenport 2000, p. ۱.

منابع
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
  • Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, 74 (3rd revised ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6, MR 1790423
  • Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7

برای مطالعه بیشتر
  • Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
  • H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
  • H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
  • D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998

در موضوعات خاص و تخصصی تر، کتابهای زیر شناخته و معروف تر شده اند:

  • Titchmarsh, Edward Charles (1986), The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd ed.), Oxford University Press
  • H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
  • R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.

برخی از موضوعات هنوز به طور عمیق وارد کتاب ها نشده است. برخی ازین موضوعات شامل موارد زیر اند:

  1. حدس ارتباط جفت های مونتگومری و کار هایی که از آن نشأت گرفته اند.
  2. نتایج جدید گولدستون (Goldston)، پینتز (Pintz) و ییلیدریم (Yildrim) در مورد اعداد اول دوقلو و شکاف های کوچک بین اعداد اول
  3. قضیه گرین-تائو که نشان می دهد تصاعد های به اندازه دلخواه بزرگ اعداد اول وجود دارند.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.