قضیه اعداد اول

اگر${\displaystyle \pi (x)}$ تعداد اعداد اول کمتر از ${\displaystyle x}$ باشد

آنگاه

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \pi (x)}$	${\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}}$	${\displaystyle {\frac {x}{\pi (x)}}}$
۱۰	۴	۰٫۹۲۱	۲٫۵۰۰
102	۲۵	۱٫۱۵۱	۴٫۰۰۰
103	۱۶۸	۱٫۱۶۱	۵٫۹۵۲
104	۱٬۲۲۹	۱٫۱۳۲	۸٫۱۳۷
105	۹٬۵۹۲	۱٫۱۰۴	۱۰٫۴۲۵
106	۷۸٬۴۹۸	۱٫۰۸۴	۱۲٫۷۴۰
107	۶۶۴٬۵۷۹	۱٫۰۷۱	۱۵٫۰۴۷
108	۵٬۷۶۱٬۴۵۵	۱٫۰۶۱	۱۷٫۳۵۷
109	۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴	۱٫۰۵۴	۱۹٫۶۶۷
1010	۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱	۱٫۰۴۸	۲۱٫۹۷۵
OEIS	A006880	A057835

با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1}$

که در آن تابع ${\displaystyle p(x)}$ ، تابع مولد اعداد اول باشد یعنی: x امین عدد اول ${\displaystyle p(x)=}$

می دانیم:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1}$

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}$

می دانیم توابع ${\displaystyle p(x)}$ و ${\displaystyle \pi (x)}$ معکوس هم هستند. یعنی:

${\displaystyle p^{-1}\left(\,x\,\right)=\pi (x)}$

در نتیجه می توان با حل معادله ${\displaystyle \pi (x)=x}$ تابع ${\displaystyle p(x)}$ را یافت.

می دانیم ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}$

پس با حل معادله ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}=x}$ می توان هم ارزی برای ${\displaystyle p(x)}$ یافت.

به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{\ln x}}=x_{2}}$

${\displaystyle {x_{1}}=x_{2}\ln(x)}$

${\displaystyle p(x)=x\ln(x)}$

اما باید توجه داشت چون به جای ${\displaystyle \pi (x)}$ از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

${\displaystyle p(x)\sim \ x\ln(x)}$

در نتیجه:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1}$

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime Number Theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.