ضرب داخلی

ضرب داخلی دو بردار ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{\mathrm {n} })}$ و ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{\mathrm {n} })}$ در فضای ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathrm {n} }}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{\mathrm {n} }a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{\mathrm {n} }b_{\mathrm {n} }}$[2]

مثال: ${\displaystyle {\begin{aligned}(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\times 4+3\times -2+-5\times -1\\&=4\qquad -6\qquad \ +5\\&=3\end{aligned}}}$

اگر بردارها را ماتریس سطری فرض کنیم ضرب داخلی را می‌توان از رابطهٔ زیر نیز محاسبه کرد (${\displaystyle b^{\mathsf {T}}}$ یعنی ماتریس ترانهادهٔ ${\displaystyle b}$):

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab^{\mathsf {T}}}$

مثال: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3}$

اگر ${\displaystyle \theta }$ زاویهٔ بین دو بردار باشد:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert \cos \theta }$[3]

در نتیجه

• اگر ${\displaystyle {\vec {a}}}$ و ${\displaystyle {\vec {b}}}$ بر هم عمود باشند، نتیجهٔ ضرب صفر خواهد شد و برعکس: ${\displaystyle \theta =90^{\circ }\Rightarrow \cos \theta =0\Longleftrightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0}$[3]
• اگر ${\displaystyle {\vec {a}}}$ و ${\displaystyle {\vec {b}}}$ با هم موازی باشند، نتیجهٔ ضرب برابر ضرب طول بردارها خواهد شد و برعکس: ${\displaystyle \theta =0\Rightarrow \cos \theta =1\Longleftrightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert }$
• ضرب داخلی یک بردار در خودش برابر مقدار طول آن به توان ۲ است: ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert ^{2}}$[3]