نرم (ریاضیات)

نُرم یا هَنج[1] در ریاضی و رشته‌های مربوط به آن در مواردی استفاده دارد که عناصر به مقادیر مثبت محدود باشند. تابع حقیقی ${\displaystyle \|.\|}$ تعریف شده بر فضای برداری ${\displaystyle X}$ را نُرم نامیم اگر در سه خاصیت زیر صدق کند:

1. به ازای هر ${\displaystyle x\in X}$، ${\displaystyle \|x\|\geq 0}$، و ${\displaystyle \|x\|=0}$ اگر و فقط اگر ${\displaystyle x=0}$
2. به ازای هر ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$، ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}$
3. به ازای هر ${\displaystyle y\in X}$ و ${\displaystyle x}$، ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$ (نابرابری مثلثی)

نمایش تصویری دایره واحد در نُرم‌های مختلف برداری.

اگر خاصیت اول از تعریف نُرم را حذف کنیم، تابع جدیدی به دست می‌آید که به آن نیم‌نُرم می‌گوییم.

فضای برداری ${\displaystyle X}$ مجهز به نُرم ${\displaystyle \|.\|}$ را یک فضای برداری نُرم‌دار می‌نامیم. از آنجایی که دامنهٔ تعریف نُرم، فضایی برداری است، بسته به اینکه اعضای فضای برداری چه باشند، نُرم ممکن است برای بردار، ماتریس، یا تابع، تعریف شود. ورودی نُرم، عضوهای فضای برداری و خروجی آن عدد حقیقی مثبتی است پس بُرد هر نُرم، مجموعه اعداد حقیقی مثبت می‌باشد. هر نُرم در فضای برداری تعریف شده بر آن، متری القا می‌کند؛ بنابراین هر فضای نُرم‌دار، یک فضای برداری متری است.