فضای برداری نرم‌دار

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار (به انگلیسی: Normed Vector Space) یا فضای نرم‌دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد.[1] نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم "طول" در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت ${\displaystyle x\mapsto \|x\|,}$ نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:[2]

1. نامنفی است، یعنی برای هر بردار ${\displaystyle x}$ داریم ${\displaystyle \|x\|\geq 0}$.
2. روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:

   ${\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.}$

3. برای هر بردار ${\displaystyle x}$، و هر اسکالر ${\displaystyle \alpha }$ داریم:

   ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.}$

4. نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار ${\displaystyle x,y}$ داریم:

   ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

سلسله مراتب فضاهای ریاضیاتی، فضاهای نرم دار در این نمودار شامل فضاهای ضرب داخلی و زیرمجموعه ای از فضاهای متری هستند، که خود فضاهای متری زیرمجموعه فضاهای برداری نرم دار می باشند.

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:

${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر ${\displaystyle d}$ مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.