چندوجهی

چندوجهی[persian-alpha 1] یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برایش ارائه نشده. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

برخی از چندوجهی‌ها
دوازده‌وجهی (جسم افلاطونی)	دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک (چندوجهی کپلر–پوآنسو)
بیست‌دوازده‌وجهی (جسم ارشمیدسی)	گنبد پنج‌ضلعی (گنبد)
سی لوزوجهی (جسم کاتالان)	گرد پنج‌ضلعی (جسم جانسون)

چندوجهی‌های ساده مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد معدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه و شکل گوشه‌های منتظم می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبد هاى ژئودزيك و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هيدروكربن هاى افلاطونى و همچنين برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.

چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالى روى هر چندوجهى مى توان چندوجهی‌هاى ديگرى ساخت. بعضى از آنها با هم روابطى دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.

تعاریف

یک چندوجهی

به‌طور کلی، «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخود کنند.[1] معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

تعاریف زیادی از چندوجهی ارائه شده و در ریاضیات تعریف واحدی برای چندوجهی وجود ندارد. چنانچه برانکو گرونباوم گفته‌است: «نگاه اصلی در نظریه چندوجهی به اقلیدس برگشته و از طریق کپلر، پوآنسو، کوشی و بسیاری دیگر ادامه یافته … در هر مرحله … نویسندگان نتوانستند تعریف کنند که چندوجهی چیست.»[2]

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است که این شیء جامدی است که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد[3][4] یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است.[5] تصفیه‌های طبیعی این تعریف مستلزم محدود شدن جامد، داشتن فضای داخلی متصل و احتمالاً همچنین مرز متصل است. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.[6]
تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است.[7] به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اتحاد چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند، طوری که در فضا مرتب شده‌است به طوری که تقاطع هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است و به طوری که اتحاد آنها یک منیفلد است.[8] اگر یک قسمت مسطح از چنین سطحی خود چندضلعی محدب نباشد، اورورک نیاز دارد که آن را به چند ضلعی‌های محدب کوچکتر، با زاویه‌های دووجهی مسطح تقسیم کند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند.[9] کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست[10] مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.[11]
یک تعریف مدرن مبتنی بر تئوری چندوجهی انتزاعی[persian-alpha 2] است. اینها را می‌توان مجموعه‌هایی با ترتیب مرتب تعریف کرد که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند.[12] (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد.[13] تحققاتی که الزام همواری را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل می‌کنند یا رئوس را به فضاهای چندبعدی بالاتر ترسیم می‌کنند نیز در نظر گرفته شده‌اند.[12] برخلاف تعاریف جامد و سطح، این تعریف برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب است. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی منحط یا ناممکن (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این انحطاط‌ها جلوگیری شود، حل نشده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ عمومی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول»های سه بعدی است. با این حال، برخی از ادبیات مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح "چندوجهی" برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی محدود تعریف می‌کنند.[14][15] در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

زوایا

هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:

زاویه صاف:به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه صاف گویند.
زاویه فضایی:به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
زاویه دووجهی:به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.[16]

سطح چندوجهی

«سطح چندوجهی»[persian-alpha 3] حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.[1]

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.[17]

خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها

منشوروار

چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:[18]

هرم	گوه	متوازی‌السطوح	منشور	پاد منشور			گنبد	هرم ناقص

حجم منشوروار از رابطه $V={\frac {h(A_{1}+4A_{2}+A_{3})}{6}}$ حاصل می‌شود که در آن V حجم، A₁ و A₃ مساحت دو وجه موازی، A₂ مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.[19]

در زير انواع منشوروار ها شرح داده شده.

هرم:

با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان ابلیسک ساخت.

«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود.[20] برای ساختن یک هرم می‌توان از اکستروژن مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.[21]

روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه

V={1 \over 3}Sh

برقرار است.[22]

گوه:

گوه

گُوِه نوعی چندوجهى است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.

روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه

V=bh\left({\frac {a}{3}}+{\frac {c}{6}}\right)

برقرار است.[23]

متوازی‌السطوح:

متوازی‌السطوح

از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای ${\vec {a}}$ و ${\vec {b}}$ و ${\vec {c}}$ شکل زیر محاسبه می‌گردد:

روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم: $S=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin \gamma =|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~$ و: $h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos \theta ~|~$ که در اثر یکی شدن:[24]

V=B\cdot h=(|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \gamma )\cdot |{\vec {c}}||\cos \theta ~|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~|{\vec {c}}|~|\cos \theta ~|=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|~.

منشور

با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.

منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک متوازی‌الاضلاع است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است.[21] اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی مستطیل هستند. اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام مکعب مستطیل تشکیل می‌شود.[21]

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.[21]منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

V=Sh

A=2S+Ph

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:[25][26]

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)

A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\left({\frac {\pi }{n}}\right)}+nsh

پادمنشور:

پادمنشور شش ضلعی

پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.

روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:[27]

V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},

A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.

گنبد:

گنبد مثلثی

گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.[28]

هرم ناقص:

هرم ناقص پنج‌ضلعی

یک هرم ناقص [persian-alpha 4] یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.[29]پایهٔ ابلیسک نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.[20]

روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه

V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}}

برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

${\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}$

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:[30][31]

A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]

چندوجهی منتظم

چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند.[32] در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.[33]

اجسام افلاطونی

یک هشت‌وجهی منتظم

چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.

تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد:[34]

چهاروجهی منتظم
شش‌وجهی منتظم (مکعب)
هشت‌وجهی منتظم
دوازده‌وجهی منتظم
بیست‌وجهی منتظم

اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:[35]

همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

چندوجهی کپلر-پوآنسو

یک دوازده‌وجهی بزرگ

هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.

چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد:[36]

اجسام ارشمیدسی

گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که عبارتند از:[37]

یک مکعب شل

اجسام کاتالان

اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که عبارتند از:[38]

یک دوازده‌لوزوجهی

$n$	جسم ارشمیدسی	دوگانش (جسم کاتالان)
۱	چهاروجهی بریده‌شده	دوازده‌مثلث وجهی
۲	مکعب بریده‌شده	بیست‌وچهار مثلث وجهی
۳	مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده	چهل وهشت مثلث وجهی
۴	هشت‌وجهی بریده‌شده	شش‌وجهی تتراکیس
۵	دوازده‌وجهی بریده‌شده	بیست‌وجهی تتراکیس
۶	بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده	صد و بیست‌مثلث وجهی
۷	بیست‌وجهی بریده‌شده	شصت‌مثلث وجهی
۸	مکعب‌هشت‌وجهی	دوازده‌لوزوجهی
۹	بیست‌دوازده‌وجهی	سی لوزوجهی
۱۰	لوزمکعب‌هشت‌وجهی	بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
۱۱	لوزبیست‌دوازده‌وجهی	شصت‌چهار ضلعی وجهی
۱۲	مکعب شل	بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
۱۳	دوازده‌وجهی شل	شصت‌پنج ضلعی وجهی

چندوجهی متحدالشکل

یک چندوجهی متحدالشکل مقعر

یک چندوجهی متحدالشکل دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.

چندوجهی متحدالشکل ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های متحدالشکل ستاره ای هستند.

دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی متحدالشکل وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:[39][40]

دارای بی‌نهایت چندوجهی:
- منشورها،
- پادمنشورها.
اثتثناهای محدب:
- ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
- ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
اثتثناهای ستاره ای (مقعر):
- ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
- ۵۳ چندوجهی ستاره ای متحدالشکل دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.

پس تعداد چندوجهی‌های متحدالشکل که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.

اجسام جانسون

J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است

اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.[41]

چندوجهی گلدبرگ

یک چندوجهی گلدبرگ

چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:

هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.

این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.[42]

چندوجهی ژئودزیک

یک چندوجهی ژئودزیک

چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگانه چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.[43]

چندوجهی‌ها در جهان واقع

چندوجهی‌ها در طبیعت

با اینکه اجسام افلاطونی، بر خلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند.[44] سنگ نمک گاهی در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد (شکل ۱) و بلورهای فلئوریت شبیه هشت‌وجهی‌اند (شکل ۲) پیریت هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود (شکل ۳).[45]

در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب اشکال هنری در طبیعت[persian-alpha 5] برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند (شکل ۴).[46]

هیدروکربن افلاطونی هیدروکربنی است که ساختار آن با یکی از پنج جسم افلاطونی مطابقت دارد ، در این صورت اتمهای کربن جایگزین رئوس آن می شوند ، پیوندهای کربن - کربن جایگزین ضلع های آن می شوند و در صورت لزوم اتم های هیدروژن نيز وجود دارد (شكل ٥).[47]

۱	۲	۳	۴	٥

چندوجهی‌های ساختگی

از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود (شکل ۱و۲).[48] به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود؛ مثلاً در گنبدهای ژئودزیک ژئودزیک‌ها با هم تلاقی می‌کنند و عناصر مثلثی شکل را تشکیل می‌دهند مانند چندوجهی‌های ژئودزیک (شکل ۳و۴).[49]

۱	۲	۳	۴

اهرام در بسیاری از نقاط جهان وجود دارند. به عنوان مثال اهرام مصر بناهای بناهایی باستانی واقع در مصر هستند. منابع حداقل ۱۱۸ هرم را در مصر شناسایی می‌کنند.[50][51] در دوره پادشاهی قدیم و میانه بیشتر آنها به عنوان مقبره برای فراعنه کشور و همسایگان آنها ساخته شده‌است.[52][53] اهرام ثلاثه از آن دسته اند (شکل ۱). ساکنان بین‌النهرین اولیه‌ترین ساختارهای هرمی را به نام زیگورات ساختند (شکل ۲).[54]با آنکه نام هرم با مصر گره خورده، ملت سودان ۲۲۰ هرم باقیمانده دارد (شکل ۳).[55] تعدادی از فرهنگ‌های آمریکا مرکزی نیز سازه‌هایی به شکل هرم ساخته‌اند. اهرام آمریکا مرکزی معمولاً پله پله می‌شدند و معابد در بالای آن قرار داشتند که بیشتر شبیه زیگورات‌های بین‌النهرین بودند تا اهرام مصر (شکل ۴).[56] به جز اینها اهرام در تمدن‌های دیگری نیز ساخته می‌شدند.

۱	۲	۳	۴

ویژگی‌ها و مشخصه‌ها

تعداد وجوه

چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron (چهاروجهی) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron (پنج‌وجهی) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron (شش‌وجهی) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

شکل گوشه‌ها

برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید.[57] اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

حجم

جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها راها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چند وجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود: ${\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,$ که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، $Q F$ نقطه ای دخلوها روی وجه F بوده، $N F$ بردار واحد عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب ضرب داخلی است.[58]

خواص توپولوژیکی

خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

توپولوژی رویه

بیست وجهی بزرگ دارای ۲۰ وجه مثلثی است که با یکدیگر تلاقی می‌کنند.

رویه یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.

در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رؤیه ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.[persian-alpha 6]

چندوجهی دارای سوراخ، دارای توپولوژی یک چنبره.

از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل چنبره است.[59]

مشخصه اویلر و قضیهٔ چندوجهی اویلر

مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی ( $\chi \,$ ) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:

\chi =V-E+F\,\!

که V, E و F به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.

قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ بوده اما مشخصه اویلر چندوجهی‌های مقعر متغیر است.[60] جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:

نام	خانواده	رأس‌ها V	اضلاع E	وجه‌ها F	مشخصهٔ اویلر: V − E + F
چهاروجهی منتظم	اجسام افلاطونی	۴	۶	۴	۲
چهاروجهی بریده شده	اجسام ارشمیدسی	۱۲	۱۸	۸	۲
دوازده‌مثلث وجهی	اجسام کاتالان	۸	۱۸	۱۲	۲

نماد اشلفلی

نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای چندبرهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.[61]

تقارن

بسیاری از چندوجهی‌های مورد مطالعه بسیار متقارن هستند، یعنی با انعکاس یا چرخش فضا، شکل ظاهری آنها تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن‌ها ممکن است محل یک راس، وجه یا ضلع معین را تغییر دهد، اما مجموعه تمام رئوس (به همین ترتیب وجوه، اضلاع) بدون تغییر است. مجموعه تقارن‌های چندوجهی را گروه تقارن آن می‌نامند.

گفته می‌شود که تمام اجزایی که توسط تقارن‌ها بر روی یکدیگر قرار می‌گیرند، یک مدار تقارن را تشکیل می‌دهند. به عنوان مثال، تمام وجوه‌های مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام ضلع‌ها در مدار دیگر قرار دارند. اگر تمام اجزا یک بعد معین، مثلاً تمام وجه‌ها، در یک مدار قرار بگیرند، گفته می‌شود که شکل در آن مدار متقارن است. به عنوان مثال، یک مکعب وجه -متقارن است، در حالی که یک مکعب بریده شده دارای دو مدار تقارن وجه است.

گروه‌های تقارنی

بسیاری از تقارن‌ها یا گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد با نام تقارن مرتبط با چند وجهی نامگذاری شده‌اند. این گروه‌های تقارنی شامل:

T – تقارن چهاروجهی دست‌سان:گروه چرخشی برای چهاروجهی منتظم
T_d – تقارن چهاروجهی کامل:گروه تقارنی چهاروجهی منتظم
T_h – تقارن پیریتووجهی:تقارن یک پیریتووجهی (دوازده وجهی با وجوه پنج ضلعی غیر منتظم)
O – تقارن هشت وجهی دست‌سان:گروه چرخشی مکعب و هشت وجهی
O_h – تقارن هشت وجهی کامل:گروه تقارنی مکعب و هشت وجهی
I – تقارن بیست وجهی دست‌سان:گوه چرخشی بیست وجهی و دوازده وجهی
I_h – تقارن بیست وجهی کامل:گروه تقارنی بیست وجهی و دوازده وجهی
C_nv – تقارن هرم n-پهلو
D_nh – تقارن منشور n-پهلو
D_nv – تقارن پادمنشور n-پهلو

تقارن‌های دست‌سان تقارن انعکاسی ندارند از این رو دارای دو شکل متقارن هستند که بازتابی از یکدیگر هستند.[62]

دوگانگی

برای هر چندوجهی محدب، دوگانی وجود دارد که:

وجوهش به جای رئوس چندوجهی اولیه است و برعکس.
دارای همان تعداد ضلع است.[63]

چندوجهی‌های دوگان با هم جفت هستند، به این معنی که دوگان دوگانشان خودشان است. بعضی چندوجهی‌ها خود دوگانند، یعنی اینکه دوگانشان متجانس با خودشان است.[64]

چهاروجهی دوگان خودش است	هشت وجهی دوگان مکعب است	مکعب دوگان هشت وجهی است	بیست وجهی دوگان دوازده وجهی است	دوازده وجهی دوگان بیست وجهی است

چندوجهی‌های انتزاعی هم دوگان دارند که دارای مشخصه اویلر و جهت‌گیری مشابه با چندوجهی اولیه هستند. با این حال شکل حاصل از دوگانگیشان یک چندوجهی دوگان را توصیف نمی‌کند، بلکه فقط ساختار ترکیبی آن را مشخص می‌کند. برای بعضی تعریف‌ها از چندوجهی‌های انتزاعی هندسی، چندوجهی‌های انتزاعی وجود دارند که دوگانشان یک چندوجهی هندسی نیست.

اعمال روی چندوجهی‌ها

بریدن

در چندوجهی‌ها، بریدن عملیاتی که طی آن رئوس چندوجهی قطع شده و به جای هر راس وجه جدیدی ایجاد می‌شود. این اصطلاح از نامهای کپلر برای اجسام ارشمیدسی گرفته شده‌است.

نوع خاصی از بریدن، بریدن متحدالشکل است، یک عمل برش که به یک چندبر منتظم (در اینجا چندوجهی منتظم) اعمال شده و یک چندوجهی با وجوه منتظم با طول ضلع‌های مساوی ایجاد می‌کند. درجاتی از آزادی در اندازه بریدن وجود نداشته و این یک هندسه ثابت را نشان می‌دهد، دقیقاً مانند چندوجهی‌های منتظم.[65] شکل زیر نشان می‌دهد چگونه چند عمل بریدن متحد الشکل متوالی مکعب را ابتدا به اجسام ارشمیدسی و سپس هشت وجهی تبدیل می‌کند و برعکس:

مکعب	مکعب بریده شده	مکعب هشت وجهی	هشت وجهی بریده شده	هشت وجهی

ستاره ای کردن

ستاره ای کردن عملیاتی است که توسط کپلر در سال ۱۶۱۹ تعریف شده‌است: این کار شامل گسترش برخی از وجه‌های چندوجهی به نقطه ای است که آنها دوباره به هم می‌رسند. با این عملیات، چندوجهی‌های کپلر از دوازده وجهی منتظم ساخته شدند، دو تا از چهار چندوجهی امروزه به عنوان چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو شناخته می‌شوند. هشت وجهی ستاره ای یک ستاره هشت وجهی منتظم است.

در زیر برخی از ستاره‌ها آورده شده‌است: یکی هشت وجهی ستاره ای، و سه مورد دیگر دوازده وجهی‌های ستاره ای منتظم (دو مورد اول از چندوجهی‌های کپلرند). مورد آخر چندوجهی حاصل از یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی است:

هشت وجهی ستاره ای	یک بار ستاره ای کردن دوازده وجهی	دو بار ستاره ای کردن دوازده وجهی	سه بار ستاره ای کردن دوازده وجهی	یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی

مفروش سازی

برخی از چندوجهی‌ها می‌توانند به عنوان آجر برای پر کردن فضا بدون ایجاد سوراخ استفاده شوند، همان چیزی که در کندوها اتفاق می‌افتد: چنین عملیاتی را مفروش سازی می‌نامند. چندوجهی‌ها در یک قالب در امتداد وجه‌هایشان مجاورند. در میان اجسام افلاطونی، تنها چندوجهی ای که قادر به مفروش سازی است مکعب است. در میان اجسام ارشمیدسی، دوازده لوز وجهی و هشت وجهی بریده شده این توانایی را دارند. از هشت وجهی و چهاروجهی منتظم می‌توان به صورت جفت برای مفروش سازی استفاده کرد.[66]

مکعبی	دوازده لوزوجهی	هشت وجهی بریده شده	چهاروجهی و هشت وجهی

تاریخچه

پیش از تاریخ

چندوجهی‌ها در اشکال معماری اولیه مانند مکعب‌ها و مکعب مستطیل‌ها ظاهر شدند. همچنین اولین اهرام مربع القاعده مصر باستان نیز از عصر حجر به جا مانده‌است.

اتروسک‌ها حداقل در مورد بعضی چندوجهی‌های منتظم پیش از یونانیان آگه بودند که از کشف یک دوازده وجهی اتروسکی ساخته شده از سنگ صابون در مونته لوفا مشهود است. وجه‌های آن که با طرح‌های مختلف مشخص شده بود، به برخی از محققان نشان می‌دهد که ممکن است از آن به عنوان قالب بازی استفاده شده باشد.[67]

تمدن یونان

نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی (چندوجهی‌های منتظم محدب) را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند.[68] اجسام ارشمیدسی نام خود را از ارشمیدس گرفته‌اند، که در یک اثر از دست رفته دربارهٔ آنها بحث کرد. پاپوس اسکندرانی به آن اشاره می‌کند، با بیان اینکه ارشمیدس ۱۳ چندوجهی را ذکر کرده‌است.[37]

چین

لیو هوی یکی از بزرگترین عوامل کمک به هندسه چندوجهی بود. به عنوان مثال، او دریافت که می‌توان گوه ای با قاعده مستطیل و دو طرف شیب دار را به یک هرم و یک گوه چهاروجهی تقسیم کرد. وی همچنین دریافت که می‌توان یک گوه با قاعده ذوزنقه و دو طرف شیب دار را به دو گوه چهاروجهی جدا کرد که توسط هرم جدا شده‌است.[69]

تمدن اسلامی

ابوالوفا محمد بوزجانی در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک دوایر عظیمهٔ کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان بود. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه[persian-alpha 7] اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود.[70][71]

رنسانس

هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند،[72] که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو در کلیسای جامع سینت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی. در تصویرسازی‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است.[73] در دوران رنسانس، هنرمندان و ریاضیدانان اشکال خالص را با تقارن بالا بها می‌دادند و در حدود سال ۱۶۲۰ یوهانس کپلر کشف مجدد ۱۳ جسم ارشمیدسی را به پایان رسانده بود.[74]

چندوجهی ستاره ای منتظم

بیشتر چندوجهی کپلر – پوآنسو، به نوعی قبل از کپلر شناخته شده بودند. یک دوازده وجهی ستاره ای کوچک در تارسیای مرمر (تخته خاتم) در کف کلیسای سنت مارک، ونیز، ایتالیا وجود دارد. قدمت آن از قرن پانزدهم میلادی است و گاهی اوقات آن را به پائولو اوچلو نسبت می‌دهند.[75]

دوازده وجهی‌های ستاره ای بزرگ و کوچک که گاهی اوقات آن را چندوجهی‌های کپلر نیز می‌نامند، برای اولین بار توسط یوهانس کپلر در حدود سال ۱۶۱۹ به شکل منتظم مشاهده شدند.[76]

در سال ۱۸۰۹، لوئیز پوآنست با جمع کردن پنج ضلعی‌های ستاره ای در اطراف هر راس، چندوجهی‌های کپلر را دوباره کشف کرد. او همچنین چند ضلعی محدب را در اطراف رئوس ستاره جمع کرد تا دو ستاره منتظم دیگر، بیست وجهی بزرگ و دوازده وجهی بزرگ را کشف کند. برخی از افراد این دو را چند وجهی پوآنسو می‌نامند. پوآنسو نمی‌دانست که آیا همه چندوجهی‌های ستاره ای منتظم را کشف کرده‌است یا خیر.[77]

چندوجهی کپلر – پوآنسو را می‌توان از اجسام افلاطونی با فرایندی به نام ستاره کردی ساخت. بیشتر ستاره‌ها منتظم نیستند. مطالعه ستاره‌های اجسام افلاطونی توسط هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر و دیگران در سال ۱۹۳۸، با مقاله‌ای که اکنون به ۵۹ بیست وجهی مشهور است، شتاب بیشتری گرفت.[78]

جستارهای وابسته

یادداشت‌ها

به انگلیسی: Polyhedron که حالت جمع آن Polyhedra است. واژه‌نامه ریشه‌شناختی اخترفیزیک نوشتهٔ حیدری ملایری معادل چنددیمه را برای چندوجهی توصیه می‌کند.
Abstract polyhedra
polyhedral surface
pyramidal frustums
Art Forms in Nature
این واقعیت، گرچه شهودی است، امری پیش پا افتاده نیست: آن آنالوگ سه بعدی قضیه منحنی ژوردان است. این واقعیت که رویه اتحادیه چندضلعی است، به هر حال اثبات را آسان‌تر می‌کند: بدون این فرضیه می‌توان سطوحی مانند کره شاخدار اسکندر ایجاد کرد، که رفتار آنها عجیب تر است.
در باب آنچه صنعتگران از مسائل هندسی نیاز دارند.

پانویس

Pottmann 2007, p. ۷۴.
Grünbaum (1994), p. 43.
McCormack, Joseph P. (1931), Solid Geometry, D. Appleton-Century Company, p. 416.
de Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, M.; Schwarzkopf, O. (2000), Computational Geometry: Algorithms and Applications (2nd ed.), Springer, p. 64.
Matveev, S.V. (2001) [1994], "Polyhedron, abstract", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Stewart, B. M. (1980), Adventures Among the Toroids: A study of orientable polyhedra with regular faces (2nd ed.), p. 6.
Cromwell (1997), pp. 206–209.
O'Rourke, Joseph (1993), "Computational Geometry in C", Computers in Physics, 9 (1): 113–116, Bibcode:1995ComPh...9...55O, doi:10.1063/1.4823371.
Grünbaum, Branko (1999), "Acoptic polyhedra", Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996) (PDF), Contemporary Mathematics, 223, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 163–199, doi:10.1090/conm/223/03137, ISBN 978-0-8218-0674-6, MR 1661382.
Cromwell (1997), p. 209.
Bokowski, J.; Guedes de Oliveira, A. (2000), "On the generation of oriented matroids", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 197–208, doi:10.1007/s004540010027, MR 1756651.
Burgiel, H.; Stanton, D. (2000), "Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 241–255, doi:10.1007/s004540010030, MR 1758047.
Grünbaum (2003), pp. 468–469.
Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 221 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, p. 26, doi:10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN 978-0-387-00424-2, MR 1976856.
Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009), "Definition 1.1", Polytopes, Rings, and K-theory, Springer Monographs in Mathematics, Dordrecht: Springer, p. 5, CiteSeerX 10.1.1.693.2630, doi:10.1007/b105283, ISBN 978-0-387-76355-2, MR 2508056.
Polyhedra, Peter R. Cromwell, p.13.
Pottmann 2007, p. ۷۲.
William F. Kern, James R Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p.75
B. E. Meserve, R. E. Pingry: Some Notes on the Prismoidal Formula. The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 4 (April 1952), pp. 257-263
Pottmann 2007, p. ۷۵.
Pottmann 2007, p. ۷۶.
La geometria della piramide in MathWorld
Harris, J. W. , & Stocker, H. "Wedge". §4.5.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer, p. 102, 1998. شابک ‎۹۷۸−۰−۳۸۷−۹۴۷۴۶−۴
Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.
William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p.81
Weisstein, Eric W. "Prism". MathWorld.
Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
"cupolas". www.orchidpalms.com. Retrieved 21 April 2018.
William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 67
"Mathwords.com: Frustum". Retrieved 17 July 2011.
Al-Sammarraie, Ahmed T.; Vafai, Kambiz (2017). "Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe". Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. 72 (3): 197−214. doi:10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID 125509773.
Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 77. ISBN 0-521-66405-5.
«Regular Polyhedron». MathWorld. دریافت‌شده در ۱۰ آوریل ۲۰۱۴.
Encyclopedia Britannica
Pottmann et al. 2007‏:‎81
Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra
Grünbaum (2009).
Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900.
Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). "Uniform polyhedra" (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446.
Johnson, Norman W. (1966). "Convex Solids with Regular Faces". Canadian Journal of Mathematics. 18: 169–200. doi:10.4153/cjm-1966-021-8. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.
Goldberg, Michael (1937). "A class of multi-symmetric polyhedra". Tohoku Mathematical Journal.
Antony Pugh, Polyhedra: a visual approach, 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra
French 2014‏:‎96
French 2014‏:‎96
Haeckel 2012, PLATE 1
Henning Hopf, Classics in Hydrocarbon Chemistry, Wiley VCH, 2000.
Gardner 1987‏:‎17
التسلسل التاریخی لاستخدام الحدید فی المبانی | إتحاد مهندسی کوردستان بایگانی‌شده در ۴ مارس ۲۰۱۶ توسط Wayback Machine
Slackman, Michael (17 November 2008). "In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future". The New York Times. Retrieved 1 May 2010.
Mark Lehner (2008). The Complete Pyramids: Solving the Ancient Mysteries. Thames & Hudson. p. 34. ISBN 978-0-500-28547-3.
Slackman, Michael (16 November 2007). "In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future". The New York Times. Retrieved 17 November 2008. Deep below the Egyptian desert, archaeologists have found evidence of yet another pyramid, this one constructed 4,300 years ago to store the remains of a pharaoh’s mother. That makes 138 pyramids discovered here so far, and officials say they expect to find more.
Ritter, Michael (2003). "Dating the Pyramids". Archived from the original on 11 May 2008. Retrieved 15 May 2008.
Crawford, page 73
Pollard, Lawrence (2004-09-09). "Sudan's past uncovered". BBC News. Retrieved 2010-04-12.
"The Enigma of Aztec Sacrifice". Natural History, April 1977. Vol. 86, No. 4, pages 46–51.
Cromwell (1997), pp. 206–209.
Goldman, Ronald N. (1991), "Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra", in Arvo, James, Graphic Gems Package: Graphics Gems II, Academic Press, pp. 170–171
Dedò، Maria (۱۹۹۹). Forme, simmetria e topologia città=Bologna. شابک ۸۸-۰۸-۰۹۶۱۵-۷.
«Euler Characteristic». MathWorld. دریافت‌شده در ۱۲ آوریل ۲۰۱۴.
Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed.).
Cromwell (1997), p. 86.
Cundy, H. Martyn; Rollett, A.P. (1961), "3.2 Duality", Mathematical models (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, pp. 78–79, MR 0124167.
Grünbaum, B.; Shephard, G.C. (1969), "Convex polytopes" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 1 (3): 257–300, doi:10.1112/blms/1.3.257, MR 0250188, archived from the original (PDF) on 2017-02-22, retrieved 2017-02-21. See in particular the bottom of page 260.
Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, شابک ‎۰−۴۸۶−۶۱۴۸۰−۸ (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
Grünbaum (1994). "Uniform tilings of 3-space". Geombinatorics 4(2)
Sparavigna, Amelia Carolina (2012), An Etruscan dodecahedron, arXiv:1205.0706
Gardner 1987‏:‎13
Needham, Volume 3, 98-99.
هاشمی ۱۳۹۱‏:‎۲۶–۳۱
Sarhangi 2008‏:‎511–523
Sala 2004
Sala 2004
Field J. , Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227
Coxeter, H. S. M. (2013). "Regular and semiregular polyhedra". In Senechal, Marjorie. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geomtrical Imagination (2nd ed.). Springer. pp. 41–52. See in particular p. 42.
H.S.M. Coxeter,P. Du Val, H.T. Flather and J.F. Petrie; The Fifty-Nine Icosahedra, 3rd Edition, Tarquin, 1999. p.11
Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
Coxeter, H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H.T.; Petrie, J.F. (1999) [1938], The Fifty-Nine Icosahedra, Tarquin Publications, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 0676126.

منابع

Pottmann, Helmut (2007). Architectural geometry. Exton, Pa: Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5. OCLC 180177477.
Cundy, H. Martyn (1961). Mathematical models. Clarendon Press. ISBN 0124167 Check |isbn= value: length (help).
Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes. Dover books on advanced mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-61480-9. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-25.
Cromwell, P.R. (1999). Polyhedra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66405-9. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
French, K.L. (2014). The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature. Gateway series. Watkins Media Limited. ISBN 978-1-78028-845-1. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.
Gardner, Martin (1987). "Chapter 1: The Five Platonic Solids". The 2nd Scientific American book of mathematical puzzles & diversions. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-28253-8. OCLC 15550017.
Haeckel, E. (2012). Art Forms in Nature. Dover Pictorial Archive. Dover Publications. ISBN 978-0-486-15532-6. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.
Henle, M. (1994). A Combinatorial Introduction to Topology. Dover Books on Mathematics Series. Dover. ISBN 978-0-486-67966-2. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
Kotrč, Ronald F. (1981). THE DODECAHEDRON IN PLATO'S "TIMAEUS". Rheinisches Museum für Philologie. J.D. Sauerländers Verlag. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
Lewars, Errol G. (2008). Modeling Marvels. Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-1-4020-6973-4. ISBN 978-1-4020-6972-7.
MacLean, K.J.M. (2007). A Geometric Analysis of the Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra. Geometric explorations series. Loving Healing Press. ISBN 978-1-932690-99-6. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-10.
Nayudu, M.V. (2008). Plant Viruses. Tata McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-065660-4. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.
Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel; Bentley, Daril (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 1-934493-04-X. OCLC 180177477.
Sala, Nicoletta (2004). Art, Mathematics and Architecture for Humanistic Renaissance: the Platonic Solids (PDF). University of Italian Switzerland, Academy of Architecture, Switzerland.
Sarhangi, Reza (2008). "Illustrating Abu al-Wafā' Būzjānī: Flat Images, Spherical Constructions". Iranian Studies. Informa UK Limited. 41 (4): 511–523. doi:10.1080/00210860802246184. ISSN 0021-0862.
Senechal, M. (2013). Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. EBSCOhost ebooks online. Springer New York. ISBN 978-0-387-92714-5. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-10.
Tanna, S. (2014). Amazing Math: Introduction to Platonic Solids. CreateSpace Independent Publishing Platform. ISBN 978-1-5030-8485-8. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-09-15.
"Form, Shape, and Space: Teachers' Booklet" (PDF). 2008. Archived from the original (PDF) on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
"Geometry - mathematics". Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-09-16.
"Phi in Sacred Solids". Sacred Geometry. 2012-11-28. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-10.
""Platonic solid - MATHEMATICS"". Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-09-06.
"Formula Derivations for Polyhedra". Whistler Alley Mathematics. 2016-01-21. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-24.
"Platonic Solids". Whistler Alley Mathematics. 2011-12-29. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
"The Nobel Moment: Dan Shechtman". NIST. 2017-05-02. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.
Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55432-9, MR 1458063.
Grünbaum, Branko (1994), "Polyhedra with hollow faces", in Bisztriczky, Tibor; Schneider, Peter McMullen;Rolf; Weiss, A., Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 43–70, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3, ISBN 978-94-010-4398-4, MR 1322057.
Grünbaum, Branko (2003), "Are your polyhedra the same as my polyhedra?" (PDF), in Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, pp. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
Richeson, David S. (2008), Euler's Gem: The polyhedron formula and the birth of topology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12677-7, MR 2440945.

افراسیابی، مرضیه (۱۳۸۹). «نقد و بررسی افلاطون: رساله تیمائوس: تبیین ریاضیاتی افلاطون از عالم طبیعت». کتاب ماه فلسفه (۳۸): ۳–۱۰. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۹-۱۶.
مازوچی، هادی (۱۳۸۸). «این هم مجموعه ای است . .». کتاب ماه علوم و فنون (۱۲۰): ۱۲–۲۹. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۹-۱۶.
هاشمی، غلامرضا (۱۳۹۱). «نظری به جایگه هندسه و نقوش هندسی در آرا متفکران یونانی و مسلمان». کتاب ماه هنر (۱۶۵): ۲۶–۳۱. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۹-۱۶.

پیوند به بیرون

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ چندوجهی موجود است.

نظریه عمومی

Weisstein, Eric W., "Polyhedron", MathWorld
Polyhedra Pages
Uniform Solution for Uniform Polyhedra by Dr. Zvi Har'El بایگانی‌شده در ۸ آوریل ۲۰۱۷ توسط Wayback Machine
Symmetry, Crystals and Polyhedra

فهرست‌ها و اطلاعات مقدماتی

Virtual Reality Polyhedra – دائرة المعارف چندوجهی‌ها
Electronic Geometry Models – شامل چندوجهی‌های انتخابی با خواص غیرمعمول.
Polyhedron Models – چندوجهی‌های تصویری
Paper Models of Uniform (and other) Polyhedra

نرم‌افزار آزاد

A Plethora of Polyhedra – مجموعه تعاملی و آزاد چندوجهی در جاوا. ویژگی‌هایی شامل گسترده‌ها، مقاطع مسطح، دوگان، بریده‌ها و ستاره‌های بیش از ۳۰۰ چندوجهی است.
Hyperspace Star Polytope Slicer – شامل گزینه‌های مختلفی برای نمایشگر ۳-بعدی است.
openSCAD – نرم‌افزار کراس پلت فرم آزاد برای برنامه نویسان. چندوجهی‌ها فقط یکی از مواردی است که می‌توان مدل کرد.
OpenVolumeMesh – یک کتابخانه C ++ کراس پلت فرم منبع باز برای کار با مش‌های چند وجهی. توسعه یافته توسط گروه گرافیک رایانه ای آخن، دانشگاه RWTH آخن.

منابع ساختن مدل‌های فیزیکی

Paper Models of Polyhedra گسترده‌های آزاد چندوجهی‌ها
Simple instructions for building over 30 paper polyhedra
Polyhedra plaited with paper strips – چندوجهی‌های ساخته شده بدون استفاده از چسب.
Adopt a Polyhedron -نمایش تعاملی، گسترده‌ها و داده‌های چاپگر سه بعدی برای همه انواع ترکیبی چندوجهی‌ها.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] به انگلیسی: Polyhedron که حالت جمع آن Polyhedra است. واژه‌نامه ریشه‌شناختی اخترفیزیک نوشتهٔ حیدری ملایری معادل چنددیمه را برای چندوجهی توصیه می‌کند.

[13] Abstract polyhedra

[19] yhedral surface

[32] yramidal frustums

[50] Art Forms in Nature

[64] این واقعیت، گرچه شهودی است، امری پیش پا افتاده نیست: آن آنالوگ سه بعدی قضیه منحنی ژوردان است. این واقعیت که رویه اتحادیه چندضلعی است، به هر حال اثبات را آسان‌تر می‌کند: بدون این فرضیه می‌توان سطوحی مانند کره شاخدار اسکندر ایجاد کرد، که رفتار آنها عجیب تر است.

[76] در باب آنچه صنعتگران از مسائل هندسی نیاز دارند.

[FOOTNOTEPottmann2007۷۴-2] Pottmann 2007, p. ۷۴.

[3] Grünbaum (1994), p. 43.

[4] McCormack, Joseph P. (1931), Solid Geometry, D. Appleton-Century Company, p. 416.

[5] Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, M.; Schwarzkopf, O. (2000), Computational Geometry: Algorithms and Applications (2nd ed.), Springer, p. 64.

[6] Matveev, S.V. (2001) [1994], "Polyhedron, abstract", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[7] Stewart, B. M. (1980), Adventures Among the Toroids: A study of orientable polyhedra with regular faces (2nd ed.), p. 6.

[cromwell-8] Cromwell (1997), pp. 206–209.

[9] O'Rourke, Joseph (1993), "Computational Geometry in C", Computers in Physics, 9 (1): 113–116, Bibcode:1995ComPh...9...55O, doi:10.1063/1.4823371.

[10] Grünbaum, Branko (1999), "Acoptic polyhedra", Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996) (PDF), Contemporary Mathematics, 223, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 163–199, doi:10.1090/conm/223/03137, ISBN 978-0-8218-0674-6, MR 1661382.

[11] Cromwell (1997), p. 209.

[12] Bokowski, J.; Guedes de Oliveira, A. (2000), "On the generation of oriented matroids", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 197–208, doi:10.1007/s004540010027, MR 1756651.

[bursta-14] Burgiel, H.; Stanton, D. (2000), "Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 241–255, doi:10.1007/s004540010030, MR 1758047.

[15] Grünbaum (2003), pp. 468–469.

[polytope-bounded-1-16] Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 221 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, p. 26, doi:10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN 978-0-387-00424-2, MR 1976856.

[polytope-bounded-2-17] Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009), "Definition 1.1", Polytopes, Rings, and K-theory, Springer Monographs in Mathematics, Dordrecht: Springer, p. 5, CiteSeerX 10.1.1.693.2630, doi:10.1007/b105283, ISBN 978-0-387-76355-2, MR 2508056.

[18] Polyhedra, Peter R. Cromwell, p.13.

[FOOTNOTEPottmann2007۷۲-20] Pottmann 2007, p. ۷۲.

[21] William F. Kern, James R Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p.75

[22] B. E. Meserve, R. E. Pingry: Some Notes on the Prismoidal Formula. The Mathematics Teacher, Vol. 45, No. 4 (April 1952), pp. 257-263

[FOOTNOTEPottmann2007۷۵-23] Pottmann 2007, p. ۷۵.

[FOOTNOTEPottmann2007۷۶-24] Pottmann 2007, p. ۷۶.

[25] La geometria della piramide in MathWorld

[26] Harris, J. W. , & Stocker, H. "Wedge". §4.5.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer, p. 102, 1998. شابک ‎۹۷۸−۰−۳۸۷−۹۴۷۴۶−۴

[27] Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

[28] William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p.81

[29] Weisstein, Eric W. "Prism". MathWorld.

[30] Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

[31] "cupolas". www.orchidpalms.com. Retrieved 21 April 2018.

[33] William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 67

[34] "Mathwords.com: Frustum". Retrieved 17 July 2011.

[35] Al-Sammarraie, Ahmed T.; Vafai, Kambiz (2017). "Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe". Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. 72 (3): 197−214. doi:10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID 125509773.

[36] Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 77. ISBN 0-521-66405-5.

[37] «Regular Polyhedron». MathWorld. دریافت‌شده در ۱۰ آوریل ۲۰۱۴.

[38] Encyclopedia Britannica

[39] Pottmann et al. 2007‏:‎81

[40] Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra

[g09-41] Grünbaum (2009).

[42] Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.

[43] Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900.

[44] Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). "Uniform polyhedra" (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446.

[45] Johnson, Norman W. (1966). "Convex Solids with Regular Faces". Canadian Journal of Mathematics. 18: 169–200. doi:10.4153/cjm-1966-021-8. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.

[46] Goldberg, Michael (1937). "A class of multi-symmetric polyhedra". Tohoku Mathematical Journal.

[47] Antony Pugh, Polyhedra: a visual approach, 1976, Chapter 6. The Geodesic Polyhedra of R. Buckminster Fuller and Related Polyhedra

[48] French 2014‏:‎96

[49] French 2014‏:‎96

[51] Haeckel 2012, PLATE 1

[52] Henning Hopf, Classics in Hydrocarbon Chemistry, Wiley VCH, 2000.

[53] Gardner 1987‏:‎17

[54] التسلسل التاریخی لاستخدام الحدید فی المبانی | إتحاد مهندسی کوردستان بایگانی‌شده در ۴ مارس ۲۰۱۶ توسط Wayback Machine

[55] Slackman, Michael (17 November 2008). "In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future". The New York Times. Retrieved 1 May 2010.

[56] Mark Lehner (2008). The Complete Pyramids: Solving the Ancient Mysteries. Thames & Hudson. p. 34. ISBN 978-0-500-28547-3.

[shadow-57] Slackman, Michael (16 November 2007). "In the Shadow of a Long Past, Patiently Awaiting the Future". The New York Times. Retrieved 17 November 2008. Deep below the Egyptian desert, archaeologists have found evidence of yet another pyramid, this one constructed 4,300 years ago to store the remains of a pharaoh’s mother. That makes 138 pyramids discovered here so far, and officials say they expect to find more.

[Ritter2003-58] Ritter, Michael (2003). "Dating the Pyramids". Archived from the original on 11 May 2008. Retrieved 15 May 2008.

[59] Crawford, page 73

[60] Pollard, Lawrence (2004-09-09). "Sudan's past uncovered". BBC News. Retrieved 2010-04-12.

[61] "The Enigma of Aztec Sacrifice". Natural History, April 1977. Vol. 86, No. 4, pages 46–51.

[62] Cromwell (1997), pp. 206–209.

[63] Goldman, Ronald N. (1991), "Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra", in Arvo, James, Graphic Gems Package: Graphics Gems II, Academic Press, pp. 170–171

[65] Dedò، Maria (۱۹۹۹). Forme, simmetria e topologia città=Bologna. شابک ۸۸-۰۸-۰۹۶۱۵-۷.

[66] «Euler Characteristic». MathWorld. دریافت‌شده در ۱۲ آوریل ۲۰۱۴.

[67] Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed.).

[68] Cromwell (1997), p. 86.

[69] Cundy, H. Martyn; Rollett, A.P. (1961), "3.2 Duality", Mathematical models (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, pp. 78–79, MR 0124167.

[70] Grünbaum, B.; Shephard, G.C. (1969), "Convex polytopes" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 1 (3): 257–300, doi:10.1112/blms/1.3.257, MR 0250188, archived from the original (PDF) on 2017-02-22, retrieved 2017-02-21. See in particular the bottom of page 260.

[71] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, شابک ‎۰−۴۸۶−۶۱۴۸۰−۸ (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)

[72] Grünbaum (1994). "Uniform tilings of 3-space". Geombinatorics 4(2)

[73] Sparavigna, Amelia Carolina (2012), An Etruscan dodecahedron, arXiv:1205.0706

[74] Gardner 1987‏:‎13

[75] Needham, Volume 3, 98-99.

[77] هاشمی ۱۳۹۱‏:‎۲۶–۳۱

[78] Sarhangi 2008‏:‎511–523

[79] Sala 2004

[80] Sala 2004

[81] Field J. , Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227

[82] Coxeter, H. S. M. (2013). "Regular and semiregular polyhedra". In Senechal, Marjorie. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geomtrical Imagination (2nd ed.). Springer. pp. 41–52. See in particular p. 42.

[83] H.S.M. Coxeter,P. Du Val, H.T. Flather and J.F. Petrie; The Fifty-Nine Icosahedra, 3rd Edition, Tarquin, 1999. p.11

[84] Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.

[85] Coxeter, H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H.T.; Petrie, J.F. (1999) [1938], The Fifty-Nine Icosahedra, Tarquin Publications, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 0676126.