هرم ناقص

فرمول حجم یک هرم ناقص مربع توسط ریاضیات مصر باستان در آنچه پاپیروس ریاضی مسکو نامیده می‌شود، در سلسله سیزدهم (حدود ۱۸۵۰ قبل از میلاد) نوشته شد:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}h\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).}$

که در آن a و b طول قاعده و وجه مقابل قاعده هرم کوتاه شده‌است، و h ارتفاع است. مصریان فرمول صحیح بدست آوردن حجم هرم ناقص مربعی را می‌دانستند، اما هیچ اثبات این معادله در پاپیروس مسکو ارائه نشده‌است.

حجم هرم ناقص برابر حجم هرم قبل از برش دادن، منهای حجم هرم برش داده شده‌است:

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}}}$

که در آن B1 و B2 به ترتیب قواعد هرم أولیه و هرم بریده شده و h1 و h2 به ترتیب ارتفاع هرم أولیه و هرم بریده شده‌اند.

با توجه به اینکه:

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha }$,

فرمول حجم را می‌توان به عنوان محصولی از این تناسب α / ۳ و فقط اختلاف مکعب‌های h1 و h2 بیان کرد.

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}={\frac {\alpha }{3}}(h_{1}^{3}-h_{2}^{3})}$

با فاکتورگیری اختلاف دو مکعب، a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) و یکی کردن h₁ − h₂ = h یا ارتفاع هرم ناقص است و αh₁² + h₁h₂ + h₂²/3

بت توزیع α و جایگزینی از تعریف آن، میانگین هیرونی مناطق B1 و B2 بدست می‌آید؛ بنابراین فرمول جایگزین برابر این می‌شود:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right)}$

هرون اسکندرانی برای استخراج این فرمول و مواجهه با یکه موهومی، ریشه مربع منفی ذکر شده‌است.[3]

به‌طور اختصاصی حجم مخروط ناقص با قاعده دایره برابر است با:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right)}$

که r1 و r2 شعاع دو قاعده آن هستند.

بریده هرمی

حجم هرم ناقص که قواعدش n-ضلعی منتظم است برابر است با:

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}}$

که a1 و a2 طول ضلع قواعدند.

بریده مخروطی

مدل ۳-بعدی بریده مخروطی.

برای یک مخروط ناقص دایره ای راست:[4][5]

مساحت جانبی برابر است با:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral surface area}}&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s\\&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

و مساحت کل برابر است با:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$

که r1 و r2 به ترتیب شعاع‌های قواعد بزرگ و کوچک و h سهم مخروط ناقص است.

مساحت کل هرم ناقصى که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم مشابهند برابر با:

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]}$

که a1 و a2 طول اضلاع دو قاعده اند.