تابع توزیع تجمعی

• تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

$${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\sum _{t\leq x}f(t)}$$

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته

• تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

$${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{t\leq x}f(t)dt}$$

• تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
• ${\displaystyle 0\leq F_{X}(x)\leq 1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$[1]
• اگر ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ باشد، آنگاه :

$${\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2})}$$

• ${\displaystyle P(X>x)=1-F_{X}(x)}$
• ${\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2})=F_{X}(x_{2})-F_{X}(x_{1})}$
• اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

$${\displaystyle F_{X}(M)=\int _{-\infty }^{M}f(x)dx={\frac {1}{2}}}$$

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.[4]

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:[5]

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\x+1&-1<x\leq 0\\\\1-x&0<x<1\\\\0&x\geq 1\end{cases}}}$$

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

• 
  نمودار تابع چگالی احتمال این مثال

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\{\frac {1}{2}}(x+1)^{2}&-1<x\leq 0\\\\1-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}&0<x<1\\\\1&x\geq 0\end{cases}}}$$

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی این مثال

در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

توزیع طبیعی استاندارد

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای ℝ ${\displaystyle x\in }$ به شکل زیر تعریف می‌شود :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\mathrm {erf} }\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}$$

توزیع پواسون

تابع چگالی احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...} ${\displaystyle k\in }$ و ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ به شکل زیر تعریف می‌شود:

$${\displaystyle f(x)={\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}={\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}}$$

توزیع نمایی

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای ${\displaystyle x\geq 0}$ به شکل زیر تعریف می‌شود :

$${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$$

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

$${\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}}$$

تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:

$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},...,X_{n}\leq x_{n})}$$

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره ${\displaystyle f_{XY}(x,y)}$ به این شکل خواهد بود:

$${\displaystyle F_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}$$

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

• ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\leq 1}$
• ${\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to -\infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x_{1},x_{2},...,x_{n}\to \infty }F_{X_{1},X_{2},...,X_{n}}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=1}$
• ${\displaystyle P(x_{1}<x\leq x_{2},y_{1}<y\leq y_{2})=F_{XY}(x_{2},y_{2})-F_{XY}(x_{1},y_{2})-F_{XY}(x_{2},y_{1})+F_{XY}(x_{1},y_{1})}$[6]