سری دو جمله‌ای

عمر خیام برای اولین بار سری دوجمله‌ای را برای کل اعداد مثبت در سال ۱۰۷۸ میلادی کشف کرد، این فرمول همان بسط دو جمله‌ای${\displaystyle (a+b)^{n}}$ است.[3] نیوتن در سال ۱۶۶۹ میلادی سری دو جمله‌ای ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}$ را برای هر عدد حقیقی ${\displaystyle \alpha }$ و تمام مقادیر حقیقی ${\displaystyle x}$ در فاصله ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$ محاسبه کرد.[4] آبل در سال ۱۸۶۲ میلادی سری دوجمله‌ای را برای ${\displaystyle \alpha ,x\in \mathbb {C} }$ محاسبه کرد؛ او ثابت کرد که اگر ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ باشد شعاع همگراییِ سری ۱ خواهد بود.[5]

سری هندسی حالتی خاص از سری دو جمله‌ای است. اگر ${\displaystyle \alpha =-1}$ و ${\displaystyle x}$ را با ${\displaystyle -x}$ جایگزین کنیم به عبارت پایین می‌رسیم که همان سری هندسی است؛ در اینجا ${\displaystyle {\tbinom {-1}{k}}=(-1)^{k}}$ است:

با فرض اینکه ${\displaystyle |x|=1}$ و ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ موارد ذیل را می‌توان اثبات کرد:[6]

• ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}}$ مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ یا ${\displaystyle \alpha =0}$.
• برای ${\displaystyle x\neq -1}$ سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>-1}$
• برای ${\displaystyle x=-1}$ سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ یا ${\displaystyle \alpha =0}$.

• ${\displaystyle (1+x)^{2}={\binom {2}{0}}x^{0}+{\binom {2}{1}}x^{1}+{\binom {2}{2}}x^{2}=1+2x+x^{2}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\dotsb }$
• ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}-{\frac {5x^{4}}{128}}+{\frac {7x^{5}}{256}}-\dotsb }$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {x}{2}}+{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{3}}{6}}+{\frac {35x^{4}}{128}}+{\frac {63x^{5}}{256}}+\dotsb }$

• بسط دو جمله‌ای
• سری هندسی
• سری مکلورن