ماتریس هسین

فرض کنید ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ تابعی باشد که ورودی آن بردارهای ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ و خروجی آن ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$ باشد. اگر تمام مشتقات جزئی مرتبه دوم ${\displaystyle f}$ وجود داشته و روی دامنه تابع پیوسته باشد، آنگاه ماتریس هسین ${\displaystyle \mathbf {H} }$ از ${\displaystyle f}$، ماتریس مربعی ${\displaystyle n\times n}$ است که اغلب آن را به صورت زیر نمایش می دهند:

${\displaystyle \mathbf {H} f={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}},}$

یا می توان این ماتریس را به صورت معادله ای بر حسب اندیس های i و j به این صورت بیان کرد:

${\displaystyle (\mathbf {H} f)_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

ماتریس هسین یک ماتریس متقارن است، از آنجا که طبق فرض مشتقات مرتبه دوم تابع مورد نظر پیوسته اند، نتیجه می شود که ترتیب دیفرانسیل گیری اهمیتی نخواهد داشت (قضیه شوارتز).

دترمینان ماتریس هسین را دترمینان هسین می نامند.[1]

ماتریس هسین یک تابع چون ${\displaystyle f}$ را به صورت ماتریس ژاکوبی گرادیان تابع ${\displaystyle f}$ هم می توان نوشت: H(f(x)) = J(∇f(x))

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Hessian Matrix». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.