ماتریس متقارن

در جبر خطی ماتریس متقارن (به انگلیسی: Symmetric matrix) به ماتریسی می‌گویند که خودش با ترانهاده‌اش یکسان باشد به عبارت دیگر ماتریس A متقارن است اگر و فقط اگر:

درایه‌های ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی آن متقارن اند یعنی اگرA = (aij)، بنابراین

به طور مثال ماتریس ۳×۳ زیر متقارن است

تمام ماتریس های قطری متقارن اند. تمام ماتریس‌های پادمتقارن درایه‌های قطر اصلی‌شان صفر است.

در مکانیک کوانتم و نظریه میدان کوانتمی برای برخوردها ماتریس متقارن مختلط نگاشته می‌شود که این مقاله برای ماتریس متقارن در اعداد حقیقی به کار می‌رود اما هر ماتریس متقارن مختلط A را می‌توان به صورت A = U D UT نگاشت، که U ماتریس واحد و D ماتریس قطری با درایه‌های نامنفی است. یکی از معمولترین کاربردهای آن این است که نشان می‌دهد فرمیون‌ها همواره جرم نامنفی و حقیقی دارند که در نقض سی‌پی کاربرد دارد.

هر ماتریس مربعی را می‌توان به صورت جمع دو ماتریس متقارن و پادمتقارن نوشت:

که ½(X + XT) Symn و ½(X XT) Skewn. برای تمام ماتریس‌های مربعی صدق می‌کند.

ماتریس تقارن‌پذیر

یک ماتریس مربعی را زمانی تقارن‌پذیر گوییم هرگاه ماتریس قطری D و ماتریس متقارن S وجود داشته‌باشند که A = DS. ترانهاده یک ماتریس تقارن‌پذیر نیز تقارن‌پذیر است برای (DS)T = DT(DTSD). ماتریس A = (aij) فقط زمانی تقارن‌پذیر است که در شرایط زیر صدق کند:

جستارهای وابسته

انواع دیگر تقارن در ماتریس‌های مربعی نام‌های خاص خود را دارند به طور مثال:

  • ماتریس هانکل
  • ماتریس هیلبرت
  • ماتریس کوکستر
  • ماتریس کوواریانس
  • ماتریس پادمتریک
  • ماتریس پادمتقاران

همچنین ببینید: تقارن در ریاضیات.

منابع

  • A. J. Bosch (1986). "The factorization of a square matrix into two symmetric matrices". American Mathematical Monthly. 93 (6): 462–464. doi:10.2307/2323471.
  • ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.