ماتریس متقارن
در جبر خطی ماتریس متقارن (به انگلیسی: Symmetric matrix) به ماتریسی میگویند که خودش با ترانهادهاش یکسان باشد به عبارت دیگر ماتریس A متقارن است اگر و فقط اگر:
درایههای ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی آن متقارن اند یعنی اگرA = (aij)، بنابراین
به طور مثال ماتریس ۳×۳ زیر متقارن است
تمام ماتریس های قطری متقارن اند. تمام ماتریسهای پادمتقارن درایههای قطر اصلیشان صفر است.
در مکانیک کوانتم و نظریه میدان کوانتمی برای برخوردها ماتریس متقارن مختلط نگاشته میشود که این مقاله برای ماتریس متقارن در اعداد حقیقی به کار میرود اما هر ماتریس متقارن مختلط A را میتوان به صورت A = U D UT نگاشت، که U ماتریس واحد و D ماتریس قطری با درایههای نامنفی است. یکی از معمولترین کاربردهای آن این است که نشان میدهد فرمیونها همواره جرم نامنفی و حقیقی دارند که در نقض سیپی کاربرد دارد.
هر ماتریس مربعی را میتوان به صورت جمع دو ماتریس متقارن و پادمتقارن نوشت:
که ½(X + XT) ∈ Symn و ½(X − XT) ∈ Skewn. برای تمام ماتریسهای مربعی صدق میکند.
ماتریس تقارنپذیر
یک ماتریس مربعی را زمانی تقارنپذیر گوییم هرگاه ماتریس قطری D و ماتریس متقارن S وجود داشتهباشند که A = DS. ترانهاده یک ماتریس تقارنپذیر نیز تقارنپذیر است برای (DS)T = D−T(DTSD). ماتریس A = (aij) فقط زمانی تقارنپذیر است که در شرایط زیر صدق کند:
جستارهای وابسته
انواع دیگر تقارن در ماتریسهای مربعی نامهای خاص خود را دارند به طور مثال:
- ماتریس هانکل
- ماتریس هیلبرت
- ماتریس کوکستر
- ماتریس کوواریانس
- ماتریس پادمتریک
- ماتریس پادمتقاران
همچنین ببینید: تقارن در ریاضیات.
منابع
- A. J. Bosch (1986). "The factorization of a square matrix into two symmetric matrices". American Mathematical Monthly. 93 (6): 462–464. doi:10.2307/2323471.
- ویکیپدیای انگلیسی