ماتریس خودتوان

نمونه‌هایی از ماتریس‌های خودتوان ۲×۲:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}$$

نمونه‌هایی از ماتریس‌های خودتوان ۳×۳:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$$

اگر ماتریس ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ یک ماتریس خودتوان با درایه‌های حقیقی باشد، آنگاه داریم:

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc}$
• ${\displaystyle b=ab+bd}$ که نتیجه می‌دهد ${\displaystyle b(1-a-d)=0}$ بنابراین ${\displaystyle b=0}$ یا ${\displaystyle d=1-a}$
• ${\displaystyle c=ca+cd}$ که نتیجه می‌دهد ${\displaystyle c(1-a-d)=0}$ بنابراین ${\displaystyle c=0}$ یا ${\displaystyle d=1-a}$
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}}$

بنابراین شرط لازم برای خودتوانی این ماتریس ۲×۲ آن است که یا ماتریس قطری باشد یا اثر آن برابر با ۱ شود؛ همچنین برای ماتریس قطری خودتوان، ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle d}$ تنها می‌توانند ۱ یا ۰ را اختیار کنند.

با نگاهی دوباره به ماتریس ارائه شده، اگر ${\displaystyle b=c}$، آنگاه ماتریس ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ خودتوان خواهد شد اگر ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a}$؛ بنابراین ${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0}$ یا ${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$

که نمایانگر دایره‌ای به مرکز ${\displaystyle ({\frac {1}{2}},0)}$ و شعاع ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ است. با در نظر گرفتن θ به عنوان زاویه و در مختصات قطبی داریم:: ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$ ماتریسی خودتوان است.

با این حال، شرط ${\displaystyle b=c}$ ضروری نیست و هر ماتریس ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$ با شرط ${\displaystyle a^{2}+bc=a}$ خودتوان است.

• خودتوانی