ماتریس جایگشت

فرض کنید جایگشت دلخواه ${\displaystyle \pi }$ از ${\displaystyle m}$ عنصر داده شده باشد:

${\displaystyle \pi$ :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace }

که می توان آن را به صورت زیر نمایش داد:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}},}$

دو راه برای نظیر کردن یک ماتریس به چنین جایگشتی وجود دارد؛ از یک ماتریس ${\displaystyle m\times m}$ همانی ${\displaystyle I_{m}}$ شروع کرده و بر اساس ${\displaystyle \pi }$ سطر ها یا ستون های آن را جایگشت دهیم. هردو روش به عنوان تعریف ماتریس جایگشت در متون ظاهر شده اند و خواص بیان شده در یک نمایش را می توان به راحتی تبدیل به نمایش های دیگر کرد. در این مقاله تنها با یکی از این نمایش ها سروکار خواهیم داشت و تنها زمانی که نیاز باشد به تفاوت دو نمایش اشاره می شود.

ماتریس ${\displaystyle m\times m}$ جایگشت ${\displaystyle P_{\pi }=(p_{ij})}$ با جایگشت ستون های ماتریس همانی ${\displaystyle I_{m}}$ بدست می آید، یعنی برای هر ${\displaystyle i}$ اگر ${\displaystyle j=\pi (i)}$ آنگاه ${\displaystyle p_{ij}=1}$ در غیر این صورت ${\displaystyle p_{ij}=1}$. در این مقاله از چنین جایگشتی به نمایش ستونی یاد می شود.[1] از آنجایی که درایه های سطر ${\displaystyle i}$ ام همگی 0 هستند به جز یک درایه 1 در ستون ${\displaystyle \pi (i)}$، می توان نوشت:

${\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}},}$

که در آن ${\displaystyle e_{j}}$، بردار پایه استاندارد است که نشانگر بردار سطری به طول ${\displaystyle m}$ با موقعت ${\displaystyle j}$ ام 1 است که درایه های دیگر آن 0 اند.[2]

به عنوان مثال، ماتریس جایگشت ${\displaystyle P_{\pi }}$ متناظر با جایگشت ${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}}}$ به این صورت است:

${\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{4}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{5}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.}$

همانگونه که مشاهده می کنید، ستون ${\displaystyle j}$ ام ماتریس همانی ${\displaystyle I_{5}}$، اکنون به صورت ستون ${\displaystyle \pi (j)}$ ام ${\displaystyle P_{\pi }}$ ظاهر شده است.

نمایش های دیگر از جایگشت سطر های ماتریس ${\displaystyle I_{m}}$ بدست می آیند، یعنی برای هر ${\displaystyle j}$، اگر ${\displaystyle i=\pi (i)}$ آنگاه ${\displaystyle p_{ij}=1}$ و در غیر این صورت ${\displaystyle p_{ij}=0}$. به نمایش اخیر نمایش سطری می گویند.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Permutation Matrix». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.