ماتریس متعامد

ابتدایی‌ترین نوع ماتریس‌های 1×1 ماتریس [۱] و [-۱] هستند.

ماتریس‌های 2×2 به شکل زیر هستند

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},}$

به شرط برقراری سه رابطه متعامد هستند:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=p^{2}+q^{2},\\1&=t^{2}+u^{2},\\0&=pt+qu.\end{aligned}}}$

برای ساختن معادله اول و بدون کاستن از کلیت مسئله می‌توان فرض کرد p = cos θ و q = sin θ; بنابرین t = −q, u = p or t = q, u = −p.ما می‌توانیم اولین مورد را به عنوان دوران به اندازه زاویه θ (که اگرθ = 0 به تبدیل همانی تبدیل می‌شود), و دومین را به عنوان بازتاب تحت خطی به زاویه θ/2.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (rotation), }}\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\text{ (reflection)}}}$

حالت خاص بازتاب در مورد θ=90° منجر می‌شود به بازتاب حول خطی که در زاویه ۴۵ درجه است که به خط y=x معروف استیا به عبارت دیگر جای x و y را عوض می‌کند و به ماتریس تبدیل زیر نیز معروف است:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.}$

یک بازتاب، ماتریس معکوس خود نیز هست که نشان می‌دهد ماتریس بازتاب یک ماتریس متقارن (برابر با ترانهاده خود) است. ضرب دو ماتریس دوران به یک ماتریس دوران دیگر می‌انجامد که مقدار آن برابر جمع زاویه‌های دو دوران است.

بدون توجه به ابعاد همیشه می‌توان دریافت که آیا ماتریس متعامد دلخواه یک ماتریس دوران در n بعد هست یا نه اما برای ماتریس‌های ۳×۳ و بزرگتر ماتریس‌های غیر دورانی می‌توانند پیچیده‌تر باشند برای مثال:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$