ماتریس معکوس‌پذیر

در جبر خطی یک ماتریس مربعی $n\times n$ مانند A را وارون پذیر یا ناتکین گویند، اگر ماتریسی مانند B یافت شود که:

\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\

که I_n ماتریس همانی n×n است و منظور از AB ضرب ماتریسی است. اگر چنین باشد آنگاه می‌توان ماتریس B را یگانه وارون A خواند. وارون A با A⁻¹ نمایش داده می‌شود. بنا بر نظریهٔ ماتریس‌ها اگر:

\mathbf {AB} =\mathbf {I} \

و اگر B و A ماتریس‌های مربعی باشند، آنگاه:

\mathbf {BA} =\mathbf {I} \

[1]

ماتریس‌های غیر مربعی وارون ندارند.

روش‌های محاسبه ماتریس وارون

روش تحلیلی

نوشتن ترانهادهٔ کهاد یک ماتریس (که ماتریس الحاقی نامیده می‌شود) روشی مؤثر برای محاسبه معکوس ماتریس‌های کوچک است، اما برای ماتریس‌های بزرگ کاری دشوار است. برای این کار، ماتریسی از کهادهای ماتریس اصلی مورد استفاده قرار می‌گیرد:

\mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}

در نتیجه

\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)

که در آن |A| دترمینان C, A ماتریس کوفکتور (همسازه) و C^T نشان دهندهٔ ترانهاده ماتریس همسازه (ماتریس الحاقی) است.

وارون ماتریس ۲×۲

استفاده از فرمول کهاد که در بالا معرفی شد برای ماتریس ۲×۲ چنین نتیجه می‌دهد:[2]

\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.

روش کیلی-همیلتون می‌دهد:

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left[\mathrm {(} {tr}\mathbf {A} ){I}-\mathbf {A} \right].

وارون ماتریس ۳×۳

وارون یک ماتریس ۳×۳ بدین صورت محاسبه می‌شود:

\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}

که در آن دترمینان A چنین بدست می‌آید:

\det(\mathbf {A} )=a(ei-fh)-b(id-fg)+c(dh-eg).

اگر دترمینان غیر صفر باشد، ماتریس وارون‌پذیر است. عناصر ماتریس سمت راست بالا از این قرار هستند:

{\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}

روش کیلی-همیلتون می‌دهد:

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left[{\frac {1}{2}}\left((\mathrm {tr} \mathbf {A} )^{2}-\mathrm {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)I-\mathbf {A} \mathrm {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right].

منابع

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. انتشارات دانشگاه کمبریج. p. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..
Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra (3rd ed.). SIAM. p. 71. ISBN 0-9614088-9-8., Chapter 2, page 71

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Invertible matrix». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۸ مارس ۲۰۱۴.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. انتشارات دانشگاه کمبریج. p. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..

[2] Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra (3rd ed.). SIAM. p. 71. ISBN 0-9614088-9-8., Chapter 2, page 71

جبر خطی
مفاهیم عمومی	اسکالر (ریاضی) بردار اقلیدسی فضای برداری Scalar multiplication تصویر (بردار) Linear span نگاشت خطی Linear projection استقلال خطی ترکیب خطی پایه (جبر خطی) Column space Row space تعامد (جبر خطی) Kernel ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار Outer product فضای ضرب داخلی ضرب داخلی ترانهاده الگوریتم گرام اشمیت دستگاه معادلات خطی
جبر برداری	ضرب خارجی Triple product Seven-dimensional cross product
جبر چندخطی	Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector
ماتریس	Block Decomposition ماتریس وارون کهاد ضرب ماتریس رتبه (جبر خطی) Transformation قاعده کرامر حذف گاوسی
ساختارهای جبر مجرد	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
جبر خطی عددی	ممیز شناور متلب Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) ماتریس خلوت Comparison of linear algebra libraries Comparison of numerical analysis software
رده:جبر خطی Outline Portal Wikibook Wikiversity