همبستگی و وابستگی

آشنا ترین شاخص برای اندازه گیری وابستگی بین دو کمیت، ضریب همبستگی پیرسون است که اغلب به آن "ضریب همبستگی" می گویند. این ضریب از تقسیم کوواریانس دو متغیر از طریق ضرب انحراف معیارشان بدست می آید. کارل پیرسن این ضریب را از طریق ایده مشابه، اما متفاوتی از فرانسیس گالتون بدست آورد.[4]

ضریب همبستگی جمعیت ${\displaystyle \rho _{X,Y}}$ بین دو متغیر تصادفی ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ با مقادیر امید ریاضی های ${\displaystyle \mu _{X}}$ و ${\displaystyle \mu _{Y}}$ و انحراف معیار های ${\displaystyle \sigma _{X}}$ و ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ به این صورت تعریف شده است:

که در آن ${\displaystyle \operatorname {E} }$ عملگر امید ریاضی، ${\displaystyle \operatorname {cov} }$ و ${\displaystyle \operatorname {corr} }$ به معنای کواریانس هستند. ضریب پیرسون تنها زمانی قابل تعریف است که هر دوی انحراف معیار ها متناهی و مثبت باشند. می توان فرمول فوق را به صورت زیر هم نوشت، که در آن از گشتاور ها استفاده شده است:

${\displaystyle \rho _{X,Y}={\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y) \over {\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}}}\cdot {\sqrt {\operatorname {E} (Y^{2})-\operatorname {E} (Y)^{2}}}}}$