انتگرال لبگ

انتگرال گیری ریمان-داربوکس (به رنگ آبی) و انتگرال گیری لبگ (به رنگ قرمز).

برای این که به رهیافت های مختلف انتگرال گیری شهود پیدا کنیم، اجازه دهید تا تصور کنیم که می خواهیم حجم یک کوه (بالاتر از سطح دریا) را بدست آوریم.

رهیافت ریمان-داربوکس

قاعده کوه را به مشبکه ای با مربع هایی که اضلاع یک متری دارند تقسیم بندی کنید. ارتفاع کوه را در مرکز هر مربع بدست آورید. آنگاه حجم یکی از مربع های این مشبکه تقریباً ${\displaystyle 1m^{2}\times h}$ این است که در آن ${\displaystyle h}$ ارتفاع آن مربع خاص می باشد، چنان که حجم کل برابر ۱ متر مربع ضرب در جمع کل ارتفاع مربع ها خواهد بود.

رهیافت لبگ

یک نگاشت خط تراز از کوه رسم کنید، به گونه ای که خطوط تراز مجاور اختلاف ارتفاع یک متری از هم داشته باشند. حجمی که یک تراز خاص آن را در بر می گیرد تقریباً برابر ${\displaystyle 1m^{2}\times A}$ است که در آن ${\displaystyle A}$ مساحت تراز مورد نظر است، چنان که حجم کل برابر جمع کل مساحت تراز ها ضرب در ۱ متر می باشد.

فولند تفاوت بین رهیافت انتگرال گیری ریمانی و لبگ را اینگونه بیان می دارد: "برای محاسبه انتگرال ریمانی ${\displaystyle f}$، دامنه ${\displaystyle [a,b]}$ به زیر بازه هایی افراز می شود"، در حالی که در انتگرال لبگ، "در عمل برد ${\displaystyle f}$ افراز می شود."[1]

یک تابع اندازه پذیر همراه با مجموعه ${\displaystyle \{x|f(x)>t\}}$ (روی محور ${\displaystyle x}$) نشان داده شده. انتگرال لبگ به وسیله برش در طول محور ${\displaystyle y}$ با استفاده از اندازه لبگ 1-بعدی برای اندازه گیری "عرض" برش‌ها بدست آمده است.

برای تعریف انتگرال لبگ، نیازمند به مفهوم صوری اندازه هستیم، که می توان گفت به طور کلی و نادقیق به هر مجموعه ${\displaystyle A}$ از اعداد حقیقی، عدد نامنفی ${\displaystyle \mu (A)}$ را که نشان دهنده "اندازه" ${\displaystyle A}$ است را نسبت می دهد. این مفهوم "اندازه" باید با مفهوم رایج طول یک بازه یا اجتماع مجزای بازه ها سازگاری داشته باشد. فرض کنید که ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ یک تابع حقیقی مقدار نا-منفی باشد. با استفاده از فلسفه‌ی "افراز در برد ${\displaystyle f}$"، انتگرال ${\displaystyle f}$ باید برابر با جمع ${\displaystyle t}$ روی مساحت مقدماتی مشمول در نوار افقی باریک بین ${\displaystyle y=t}$ و ${\displaystyle y=t-dt}$ باشد.

این مساحت مقدماتی همان مقدار زیر است:

${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right)\,dt.}$

فرض کنید:

${\displaystyle f^{*}(t)=\mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right).}$

آنگاه انتگرال لبگ ${\displaystyle f}$ به این صورت تعریف خواهد شد:[2]

${\displaystyle \int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

که در آن انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمانی ناسره معمولیست. توجه کنید که ${\displaystyle f^{*}}$ یک تابع نا-منفی نزولیست و لذا یک انتگرال ریمانی ناسره خوش تعریف دارد که مقدار آن در بازه ${\displaystyle [0,\infty ]}$ قرار می گیرد. برای دسته مناسبی از توابع (توابع اندازه پذیر)، این منجر به تعریف انتگرال لبگ می شود.

یک تابع اندازه پذیر ${\displaystyle f}$ (که لزوماً مثبت نیست) لبگ انتگرال پذیر است اگر مساحت بین نمودار ${\displaystyle f}$ و محور ${\displaystyle x}$ متناهی باشد:

${\displaystyle \int |f|\,d\mu <+\infty .}$

در این حالت، همانند حالت ریمانی، انتگرال برابر تفاضل بین مساحت بالای محور ${\displaystyle x}$ و مساحت زیر محور ${\displaystyle x}$ خواهد بود:

${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu }$

که در آن ${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}$ تجزیه ${\displaystyle f}$ به تفاضل دو تابع نامنفی است که به صورت زیر می باشند:

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&=\max\{f(x),0\}&=&{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f^{-}(x)&=\max\{-f(x),0\}&=&{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$