پلی‌لگاریتم

تابع پلی‌لگاریتم با جمع سری توانی زیر مشخص می‌شود:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots \,.}$

این تعریف برای آرگومان‌های مختلط z به شرط اندازه z بزرگتر از ۱ معتبر است.

دلیل انتخاب این اسم این است که این تابع از انتگرال خودش به دست می‌آید:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t\,;}$

بنابراین دی لگاریتم انتگرال لگاریتم است و به همین ترتیب. برای sهای غیرمنفی حقیقی تابع پلی لگاریتم یک تابع گویا است.

Different polylogarithm functions in the complex plane

Li−3(z)	Li−2(z)	Li−1(z)	Li0(z)	Li1(z)	Li2(z)	Li3(z)