انتگرال دیریکله

ابتدا انتگرال را به صورت تابعی از یک ثابت دلخواه بازنویسی می‌کنیم، ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$. رابطه

${\displaystyle f(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega }$

را در نظر بگیرید. سپس باید ${\displaystyle f(0,1)}$ را بدست آورید.

با مشتق گیری نسبت به ${\displaystyle \alpha }$ داریم:

${\displaystyle {\frac {df}{d\alpha }}={\frac {d}{d\alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega }$

با اعمال قانون انتگرال لایبنیتز داریم:

${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial \alpha }}e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega =-\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }\sin \beta \omega \,d\omega }$

انتگرال با استفاده از فرمول اویلر بسیار ساده‌تر ساخته می‌شود

${\displaystyle e^{i\beta \omega }=\cos \beta \omega +i\sin \beta \omega }$

در نتیجه

${\displaystyle \Im e^{i\beta \omega }=\sin \beta \omega }$

که ${\displaystyle \Im }$ نشان دهنده قسمت موهومی است. بازنویسی انتگرال به رابطه زیر منجر می‌شود:

${\displaystyle -\Im \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }e^{i\beta \omega }d\omega =\Im {\frac {1}{-\alpha +i\beta }}=\Im {\frac {-\alpha -i\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {-\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$

بنابراین

${\displaystyle {\frac {df}{d\alpha }}={\frac {-\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$

با انتگرال گرفتن از هر دو سوی معادله با شروع از ${\displaystyle 0}$ تا ${\displaystyle \infty }$ داریم

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {df}{d\alpha }}d\alpha =\int _{0}^{\infty }{\frac {-\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}d\alpha }$

${\displaystyle f(\infty ,\beta )-f(0,\beta )=-\lim _{\alpha \rightarrow \infty }\arctan {\frac {\alpha }{\beta }}+\arctan 0}$

${\displaystyle f(0,\beta )={\frac {\pi }{2}}{\textrm {sign}}\beta }$

Note that ${\displaystyle f(\infty ,\beta )=\lim _{\alpha \rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}{d\omega }=0}$

لذا،

${\displaystyle f(0,1)={\frac {\pi }{2}}}$

در نتیجه:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}}$

و به‌طور کلی تر

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}{\textrm {sign}}\beta }$

• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Integrals". MathWorld.