قضیه فشردگی

اگر ${\displaystyle I}$ بازه‌ای باشد که حاوی نقطهٔ ${\displaystyle a}$ است و ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ و ${\displaystyle h}$ توابعی باشند که بر روی ${\displaystyle I}$ تعریف شده‌اند، به جز احتمالاً خود نقطهٔ ${\displaystyle a}$؛ با فرض اینکه برای هر ${\displaystyle x}$ مخالف ${\displaystyle a}$ در بازهٔ ${\displaystyle I}$ داشته باشیم:

و همچنین با فرض اینکه:

آنگاه

اگر ${\displaystyle I}$ بازه‌ای باشد که حاوی نقطهٔ ${\displaystyle a}$ است و ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ و ${\displaystyle h}$ توابعی باشند که بر روی ${\displaystyle I}$ تعریف شده‌اند، به جز احتمالاً خود نقطهٔ ${\displaystyle a}$؛ با فرض اینکه برای هر ${\displaystyle x}$ مخالف ${\displaystyle a}$ در بازهٔ ${\displaystyle I}$ مقدار ${\displaystyle f(x)}$ بین مقادیر ${\displaystyle g(x)}$ و ${\displaystyle h(x)}$ باشد و همچنین با فرض اینکه:

آنگاه

با استفاده از قضیه فشردگی می‌توان به سادگی مقدار ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\left[{\frac {1}{x}}\right]}$ را محاسبه نمود.

می‌دانیم ${\displaystyle {\frac {1}{x}}-1<\left[{\frac {1}{x}}\right]\leq {\frac {1}{x}}}$. اگر مقادیر موجود در این نابرابری را در ${\displaystyle x}$ ضرب کنیم:

• به ازای ${\displaystyle x}$های مثبت خواهیم داشت: ${\displaystyle 1-x<x\left[{\frac {1}{x}}\right]\leq 1}$
• به ازای ${\displaystyle x}$های منفی خواهیم داشت: ${\displaystyle 1\leq x\left[{\frac {1}{x}}\right]<1-x}$

پس مقدار ${\displaystyle f(x)=x\left[{\frac {1}{x}}\right]}$ همواره (در هر همسایگی محذوف ${\displaystyle 0}$) بین ${\displaystyle g(x)=1}$ و ${\displaystyle h(x)=1-x}$ است. با محاسبه‌ی حدهای توابع ${\displaystyle g(x)}$ و ${\displaystyle h(x)}$ به ${\displaystyle \lim _{x\to 0}g(x)=\lim _{x\to 0}h(x)=1}$ می‌رسیم پس بنا بر صورت کلی قضیه فشردگی به سادگی قابل نتیجه‌گیری است که ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=1}$.

• Wikipedia contributors, "Squeeze theorem," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Squeeze_theorem&oldid=521221292 (accessed January 3, 2013).