دامنه (آمار)

${\displaystyle n}$ متغیر تصادفی پیوسته ی ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ را در نظر بگیرید.

در صورتی که هر یک از این متغیرها دارای تابع توزیع تجمعی ${\displaystyle G(x)}$ و تابع چگالی احتمال ${\displaystyle g(x)}$ باشند، تابع توزیع تجمعی دامنه برابر است با:[2][3]

${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}{\text{d}}x.}$

اگر متغیر تصادفی ${\displaystyle X_{i}(1\leq i\leq n)}$ دارای تابع توزیع تجمعی ${\displaystyle G_{i}(x)}$ و تابع چگالی احتمال ${\displaystyle g_{i}(x)}$ باشد، در این صورت میانه ی این ${\displaystyle n}$ متغیر تصادفی دارای تابع توزیع تجمعی زیر خواهد بود:[3]

${\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[G_{j}(x+t)-G_{j}(x)]\,{\text{d}}x.}$

${\displaystyle n}$ متغیر تصادفی گسسته ی ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ را در نظر بگیرید.

در صورتی که هر کدام از ای متغیرها دارای تابع توزیع تجمعی ${\displaystyle G(x)}$ و تابع جرم احتمال ${\displaystyle g(x)}$ باشند، در این صورت تابع جرم احتمال دامنه ی این ${\displaystyle n}$ متغیر برابر است با: [4][5]

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum _{x=0}^{\infty }[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum _{x=0}^{\infty }\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t\geq 0.\end{cases}}}$